第五讲导数的应用。
一：考纲解读、有的放矢。
理解导数与函数的基本关系，熟练运用导数解决函数的零点、交点问题，以及涉及到导数的一些证明问题。高考中导数应用多与函数性质、不等式数列等知识点交汇考察，以解答题出现，难度以中、高档题为主。
二：核心梳理、茅塞顿开。
1、函数的零点方程的根：
理解函数零点、方程根的本质：实际就是极值最值问题。
2、导数与其他知识点的交汇，重点在于构造函数，运用导数研究其性质。
三：例题诠释，举一反三。
知识点1：函数的零点问题。
例题1（2011深圳调研a）已知函数．
当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围。
变式：(广州2009调研b) 已知函数(r)．
1) 当时，求函数的极值；
2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
知识点2：方程的根的问题。
例题2( 2009·浙江b)已知函数，其中． 设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
变式：（中山实验高中月考b）已知函数，．
是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
知识点3：不等式恒成立问题。
例题3（天津卷文a）已知函数f（x）=，其中a>0.
ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围。
变式：（2011广东省六校联考b）已知函数，，且。
ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；
ⅱ）对于恒成立，求的取值范围；
变式：（2009广州二模b）已知函数，其中。
1）若是函数的极值点，求实数的值；
2）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围。
知识点4:导数在实际问题中的应用。
例题4(2009广州一模b) 某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个a 型零件和1个b 型零件配套组成。 每个工人每小时能加工5个a 型零件或者3个b 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一中型号的零件。设加工a 型零件的工人人数为x名(x∈n*)
1)设完成a 型零件加工所需时间为f(x)小时，写出f(x)的解析式；
2)为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？
变式：（2011珠海一模a）某地区预计从2023年初开始的第月，商品a的**（，**单位：元），且第月该商品的销售量（单位：
万件）.（1）2023年的最低**是多少？（2）2023年的哪一个月的销售收入最少？
知识点5：不等式的证明。
例5、（2010华附月考b）已知、、、均为正数且
求证： 变式：（一中月考a）若，求证：≤≤x．
知识点6：导数与向量的交汇。
例6、（2011广雅月考a）已知平面向量=(,1).
1）若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2－3)， k+t，⊥，试求函数关系式k=f(t) ；
2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况。
变式：（2010省实月考a ）设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使。
1）求函数关系式；
2）若函数在上是单调函数，求k的取值范围。
知识点7：导数与三角函数的交汇。
例7、(2009辽宁b)设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。
i） 求a的值，并讨论f（x）的单调性；
ii） 证明：当
变式：（09广东·高考c）已知曲线．从点向曲线引斜率为。
的切线，切点为．
1）求数列的通项公式；
2）证明：．
知识点8：导数与数列的交汇。
例8、（2010惠州市高三第三次调研c）已知函数。
1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；
2）当时，求在上的最大值和最小值；
3）当时，求证：对大于1的任意正整数，都有
变式：（2010深圳高级中学一模b）设函数f(x) =x2 + bln(x+1),1）若对定义域的任意x，都有f(x)≥f(1)成立，求实数b的值；[**：学科网zxxk]
2）若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；
3）若b = 1,，证明对任意的正整数n，不等式都成立。
四：方向**、胜利在望。
1、(b级)已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点，且1是其中一个零点．
1）求的值；
2）求的取值范围；
3）试**直线与函数的图像交点个数的情况，并说明理由．
2、（a级）已知函数，ⅰ）判断函数的奇偶性；
ⅱ）求函数的单调区间；
ⅲ）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．
3、（a级）已知函数 ．
（i）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；
（ii）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
4、（b级）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．
1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．
5、（a级）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）。
为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）
6、（b级）（1）求证。
2） 求证。
7、（b级）已知函数的一个零点，又在x=0处有极值，在区间（－6，－4）和（－2，0）上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反。
（1）求c的值；
（2）求的取值范围；
（3）当成立的实数a的取值范围。
8、（b级）已知函数。
1)若函数在时有与轴平行的切线，求的表达式；
2)设，其中是的导函数，若函数的图像与直线相切，求的值；
3)设，当实数在什么范围内变化时，函数的图像与直线只有一个公共点。
9、（a级）商场现有某商品1320件，每件成本110元，如果每件售价200元，每天可销售40件。节日期间，商场决定降价**，根据市场信息，单价每降低3元，每天可多销售2件．
每件售价多少元，商场销售这一商品每天的利润最大？
如果商场决定在节日期间15天内售完，在不亏本的前提下，每件售价多少元，商场销售这一商品每天的销售额最大？
10、（c级）已知，函数．
ⅰ）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；
ⅱ）若在区间上是单调递增函数，试求实数的取值范围；
ⅲ）当时，设数列的前项和为，求证：
11、（b级）设函数。
1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；
2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围。
12、（c级）设函数．
ⅰ）证明：当时，；
ⅱ）设当时，，求a的取值范围．
13、（b级）已知函数在是增函数，在（0,1）为减函数．
1）求、的表达式；
2）求证：当时，方程有唯一解；
3）当时，若在∈内恒成立，求的取值范围．
14、（b级）设函数，在其图象上一点处的切线的斜率记为．
(1)若方程有两个实根分别为-2和4，求的表达式；
(2)若在区间上是单调递减函数，求的最小值。
15、（c级）已知（为常数）在时取得一个极值，（1）确定实数的取值范围，使函数在区间上是单调函数；
（2）若经过点a（2，c）（）可作曲线的三条切线，求的取值范围．
答案：例题1的取值范围是或．
变式：（1）
当时，取得极大值为；
当时，取得极小值为6分。
2） 综上所述，a的取值范围是．
知识点2：方程的根的问题。
例题2所以；
变式：知识点3：恒成立问题。
例题3（天津卷文）
ⅰ）解切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.
ⅱ）解不等式组得-5（1） 若a>2，则。当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：
当时，f（x）>0等价于即，解不等式组得。
变式：（2011广东省六校联考）
解：（ⅰ在定义域上是奇函数4分。变式：
综上所述，的取值范围为．
知识点4:导数在实际问题中的应用。
例题4 (x∈n*，且1≤x≤492分
2) ∴x=32.
答：为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取3212分。
变式：（2011珠海一模）当时，取得最小值，即第6月的**最低，最低**为元4分。
2）所以当时，最小，即第5个月销售收入最少13分。
答：2023年在第5月的销售收入最低14分。
例5. 略。
例6、（2011广雅月考b
1)当k＞或k＜－时，方程f(t)－k=0有且只有一解；
2)当k=或k=－时，方程f(t)－k=0有两解；
3) 当－＜k＜时，方程f(t)－k=0有三解。
变式：（2010省实月考a）
知识点7：导数与三角函数的交汇。
第二章导数 练习
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