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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．正棱锥的高缩小为原来的，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的( )
a.倍 b.倍。
c.倍 d.倍。
解析】 设原棱锥高为h，底面面积为s，则v＝sh，新棱锥的高为h，底面面积为9s.
v′＝·9s·h＝sh·，＝
答案】 b2．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为( )
a．32π b．16π
c．12π d．8π
解析】 由三视图可知几何体是半径为2的半球，故其表面积应为半球的表面积与底面圆的面积之和，即s＝2πr2＋πr2＝3πr2＝12π.
答案】 c3．当圆锥的侧面积和底面积的比值是时，圆锥轴截面的顶角等于( )
a．45° b．60°
c．90° d．120°
解析】 设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则＝，∴设轴截面顶角的一半为α，则sin α＝45°，2α＝90°.
答案】 c4．在三棱锥a—bcd中，侧棱ab，ac，ad两两垂直，△abc，△acd，△adb的面积分别为，，，则该三棱锥的体积为( )
a. b.
c．6 d．2
解析】 ab·ac＝， ad·ac＝， ab·ad＝，ab＝，ac＝1，ad＝.
v＝··1··＝
答案】 b5．把由曲线y＝|x|和y＝2围成的图形绕x轴旋转360°，所得旋转体的体积为( )
a. b.
c. d.
解析】 由题意，y=|x|和y=2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个相同的共顶点的圆锥．
答案】 d6．不共面的三条定直线l1，l2，l3互相平行，点a在l1上，点b在l2上，c、d两点在l3上，若cd＝a(定值)，则三棱锥a－bcd的体积( )
a．由a点的变化而变化。
b．由b点的变化而变化。
c．有最大值，无最小值。
d．为定值。
解析】 如图，把△bcd当作三棱锥的底面，ao⊥平面bcd于o，l2∥l3，∴b点在l2上什么位置，△bcd的面积不变．
又∵l2∥l3，∴l2、l3确定一个平面α，l1∥l2，且点a不在l2、l3确定的平面α上，l1平行于l2、l3确定的平面α，从而不论a在l1的什么位置，高ao的长总不变．
又v=×高×底面积，故无论a、b在什么位置时，其体积的值恒定．
答案】 d二、填空题(每小题6分，共18分)
7. 如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为 .
解析】 由三视图的知识，它是底面直径与高均为1的圆柱，所以侧面积s=π.
答案】 π8．正三棱台高为12 cm，上、下底面面积之比为1∶4，它的体积为28 cm3，则下底面面积为___
解析】 设下底面面积为s cm2，则上底面面积为s cm2，×12＝28，s＝4.
答案】 4 cm2
9．(2023年全国卷ⅰ)直三棱柱abc－a1b1c1的各顶点都在同一球面上．若ab＝ac＝aa1＝2，∠bac＝120°，则此球的表面积等于___
解析】 在△abc中，由余弦定理知bc2＝ab2＋ac2－2ab·ac·cos 120°＝4＋4－2×2×2×＝12，bc＝2.
由正弦定理知△abc的外接圆半径r满足＝2r，r＝2，由题意知球心到平面abc的距离为1，设球的半径为r，则r＝＝，s球＝4πr2＝20π.
答案】 20π
三、解答题(共46分)
10．(15分)如果我们把体积和表面积数值相等的几何体叫做标准几何体，那么在正方体、等边圆柱(母线长等于底面圆直径的圆柱)、球三种几何体中有无这样的标准几何体？
解析】 设正方体的棱长为a，则其体积v＝a3，表面积s＝6a2.由a3＝6a2，解得a＝6.
所以当正方体的棱长为6时，它是标准几何体，设等边圆柱的底面半径为r，则其母线长为2r，它的体积v＝πr2×2r＝2πr3，表面积s＝2πr×2r＋2πr2＝6πr2.
11．(15分)如图，已知几何体的三视图(单位：cm)．
1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
2)求这个几何体的表面积及体积．
解析】 (1)这个几何体的直观图如图所示．
2)这个几何体可看成是由正方体ac1及直三棱柱b1c1q-a1d1p的组合体．
12. (16分)如图所示，以ab＝4 cm，bc＝3 cm的长方形abcd为底面的长方体被平面斜着截断的几何体，efgh是它的截面．当ae＝5 cm，bf＝8 cm，cg＝12 cm时，试回答下列问题：
(1)求dh的长；
2)求这个几何体的体积；
3)截面四边形efgh是什么图形？
证明你的结论．
解析】 (1)过e作eb1⊥bf，垂足为b1，则bb1=ae=5(cm)，所以b1f=8-5=3(cm)．
因为平面abfe∥平面dcgh，ef和hg是它们分别与截面的交线，所以ef∥hg.
过h作hc1⊥cg，垂足为c1，则gc1=fb1=3(cm)，dh=12-3=9(cm)．
2)作ed1⊥dh，垂足为d1，b1p⊥cg，垂足为p，连结d1p，b1c1，则几何体被分割成一个长方体abcd-eb1pd1，一个斜三棱柱efb1-hgc1，一个直三棱柱ehd1-b1c1p.从而几何体的体积为。
3)是菱形．
证明：由(1)知ef∥hg，同理eh∥fg.
于是efgh是平行四边形．
所以ef=eh.
故efgh是菱形．
第二章第五节
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第二章第五节
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第二章第五节
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