第二章方阵的行列式及其性质。
一、内容提要。
1. 基本概念。
1）排列：由个数码组成的一个有序数组称为一个阶排列。
2）逆序与逆序数：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。
3）对换：在一个级排列中，将其中两个数字对调而其余数字不动，这样一次对调称为一个对换。
4）阶行列式：阶矩阵＝的行列式。
等于中所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和，这里是的一个排列。当是偶排列时，该项带有正号，当是奇排列时，该项带有负号。记为。
这里表示对所有阶排列求和。
5）余子式与代数余子式：在行列式中划去元素所在的第行与第列，剩下的个元素，不改变它们的相对位置所构成的阶行列式叫做元素的余子式，记为；乘以所得的式子，叫做元素的代数余子式，记为，即．
6）齐次线性方程组：形如。
的线性方程组称为齐次线性方程组。
2. 主要定理。
1）排列的性质。
对换改变排列的奇偶性。
在全部（）阶排列中，奇、偶排列的个数相等，各有个。
任意一个阶排列与排列都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。
2）行列式的性质。
矩阵转置，其行列式不变，即。
交换矩阵的两行（列），其行列式改变符号．
如果行列式有两行（列）元素对应相等，则该行列式的值为零．
行列式的某行（列）数乘，相当于这个数乘整个行列式．或者说，行列式某一行（列）的公因子可以提到行列式外面。
如果行列式有一行（列）的元素全为零，则该行列式的值为零．
如果矩阵的两行（列）对应元素成比例，则其行列式为零．
关于列也有类似的性质。
把行列式某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变。
对方阵作初等变换，不改变其行列式的非零性。
3）按行（列）展开定理
行列式等于它的任何一行（列）的元素与其对应的代数余子式的乘积之和。
行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零．
4）克莱姆法则。
若方程组的系数行列式，则方程组有唯一解：，
其中是将行列式的第列用方程组的常数项取代后所得到的阶行列式。
若齐次线性方程组的系数行列式，则它只有零解．
二、典型例题解析。
1. 排列逆序数的计算。
例1计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性。
分析依次算出排列中排在1,2,…,前面的数码个数并随即划掉它（这是为了保证每个数码前面的数字都比它大），然后相加，即是该排列的逆序数；根据逆序数的奇偶就知道排列的奇偶性。
解 （1）=4+1+1+1+0+1+0+0=8，该排列为偶排列；
2）数码1的前面有-1个数码，2的前面有-2个数码，…，所以。
当时，为偶数，所给排列为偶排列；当时，为奇数，所给排列为奇排列。
评注计算排列的逆序数还有其他一些方法，例如：依次算出排列中每个数码后面比它小的数码个数然后相加；依次算出排列中每个数码前面比它大的数码个数然后相加，等等。而讨论排列的奇偶性也有不同的方法，例如在不需要计算逆序数时，可以利用一系列对换将所给排列变为自然排列，所作的对换个数的奇偶性就是这个排列的奇偶性。
但是需要指出，这里所作的对换个数只是与原排列的奇偶性相同，并不能说就是这个排列的逆序数。
对于含有字母（）的一般排列，要根据的奇偶仔细计算排列的奇偶性（如例中（2））.
2.行列式的一般项。
例2 写出四阶行列式中含有因子的项。
分析四阶行列式的一项是由该行列式中的不同行不同列的四个元素构成的乘积形式，可以用穷举法列出满足条件的所有项。
解由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数．
由于已固定，只能形如□□，即1324或1342.对应的逆序数分别为。
或，所以和为所求。
评注几个元素的乘积是否为阶行列式的一项，需要考察：（1）乘积中元素的个数是否为个；（2）这些元素是否位于行列式的不同行不同列。而要判断元素是否位于行列式的不同行（列），只要观察它们的下标即可。
如果要确定行列式中一项所带的符号，可以把乘积中的元素按照行（或列）的自然次序排列好，计算其列（或行）标的逆序数，按其奇偶性确定符号的正负。当然，也可以对项的元素任意排列，按行、列指标的逆序数之和的奇偶性来确定项的符号。
例3 说明下列行列式是一个多项式，并指出其中与的系数：
分析要说明所给行列式是一个多项式，其实就是要说明行列式的展开式是关于的整式，也就是说是由数字和经过加、减、乘法而来；要计算各项的系数，也就是要考察行列式中哪些元素相乘可以得到该次项。
解按照行列式的定义，其值是由它的位于不同行不同列的4个元素乘积之代数和，即每项都是由常数或者相乘而得，所以它是一个多项式。又含的项只有，且这项带正号，故的系数为3；同样，含的项只有，它的列下标为奇排列，即带有负号，于是的系数为1.
评注如果所给的行列式是由数字和整式构成的，则该行列式的值也必定是整式（即多项式）.但是如果行列式的元素本身就含有分式，结论就不一定了。另外，在计算其中次项的系数时，要找到所有可以构成的项，合并起来。
3. 行列式的计算。
例4 （化三角形法）计算阶行列式：
分析本题行列式的特点是除了对角线元素之外，其余元素都是2，可以考虑利用第2行将其他各行的2都化为0.
解将行列式的第2行乘以（-1）加到其它各行上去，得。
评注化三角形法，是指利用行列式的性质（主要是矩阵的初等变换对应的性质）化零，最终将行列式化为上（或下）三角形。在化零的过程中，要注意充分利用“行列式的一行（列）的倍数加到另一行（列），其值不变”这个性质。对整数（式）行列式，还要尽量避免分数（式）的出现。
例5（降阶法）计算四阶行列式：
分析这是一个纯数字的四阶行列式，可以按照化零和展开相结合的方法计算。
解将行列式的第1列的（－1）倍和（－2倍）分别加到第2列和第4列，得。
第1行提取2，第2行提取（1），得。
例6 计算下面行列式：
分析虽然这只是一个四阶行列式，但是由于其中元素都是字母，所以不便于化零。又由于元素没有显见为零的，故也不适用于直接展开计算。注意到行列式每列元素之和是一样的，可以考虑将各行相加，这样就有一个公因子可以提出来，继续化简就比较方便了。
解将的第行都加到第1行，并从第1行中提取公因子，得。
再将其第列都减去第1列，得。
把右端的3阶行列式的第2行加到第1行，再从第1行提取公因子，得。
再从第2列减去第1列，得。
评注以上两题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式可降低一阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开到二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式尤其适用。 对于例6这样的字母行列式，要充分注意到它的元素的特点，并且要尽可能避免字母出现在分母中．
例7（拆项与递推法）计算：
分析此题的行列式由于对角线元素与它所在行（列）的非对角线元素都不显同，所以不便于像例3那样直接用某行（列）去消去其他行（列）的元素。 但如果将某一列的元素拆开，例如第列的分拆为，则符合上述特点，便于利用行列式的其他性质计算。
解按第列把拆成两个行列式之和：
对右端的第一个行列式，将第列的（－1）倍加到它前面的各列，对第二个行列式按第列展开，得到。
由此递推，得。
评注本例用到了行列式计算的两个技巧：将行列式拆开成两个较容易计算的行列式、按行（列）展开后得到递推公式进行递推。在将所给的行列式拆成两个或者多个行列式之和来计算时，要注意一次只能拆开某一行（或者某一列），亦即要与矩阵的加法区别开来。
在实际拆分时，如果行列式的某行（列）就是两项和的形式，可直接拆开；如果所给的行列式的行（列）不是和的形式，则要根据需要作恒等变形后再拆分。为了得到递推公式，就要建立与或者更低的行列式之间的联系，这必然要按行（列）展开原行列式。
例8（数学归纳法）证明：
分析大部分的阶行列式之值都是与自然数有关的，这就提示我们可以用数学归纳法来证明这一类结果中含有的任意阶数的行列式。
证对阶数用数学归纳法。 因为。
所以当时，结论成立。
假设对阶数小于的行列式结论成立，下证对阶数等于的行列式结论也成立。将按最后一行展开，得。
由归纳假设，于是，故结论对一切自然数成立。
评注（1）在将阶行列式展开成低阶行列式表达时，必须考虑保持原行列式的结构，在本例中，只能按最后一行（或者列）展开，不能按第1行（列）展开，因为去掉第1行和第1列后所得的行列式不是与同型的行列式。
2）一般来说，当行列式结果已知且与自然数有关而要证明时，可以考虑用数学归纳法。对结果未知的，有时候可以先猜测其结论，再用数学归纳法验证。在本例中，采用的是第二数学归纳法，即不仅假定的情形，还同时假定所有小于的情形结论都成立。
4.余子式与代数余子式。
例9 设有行列式，求它的第1行各元素的代数余子式之和。
分析正好是将原行列式第1行的元素全部替换为1之后所得的行列式按第1行展开的结果，故可以通过构造一个新的行列式来求解本题。
解作行列式。
一方面，按第1行展开它，有。
另一方面，
所以， 评注解这类问题的一个基本依据是：行列式某行（列）元素的代数余子式与这一行（列）元素的值无关，也就是说，将这行（列）元素换为其它元素后，它们的代数余子式都不会改变。这样，可以根据题目的需要，将某些元素用我们所希望的任意元素去替换，从而解决问题。
例如，要求某个行列式的第2行元素的余子式之和，则要考虑用替换原行列式的第2行。另外，本题中的是所谓“爪形行列式”，都可以用上面的方法求解。
5.克莱姆法则。
例10 问取何值时，齐次线性方程组有非零解？
分析克莱姆法则指出：对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，当其系数行列式不为0时只有零解。所以若要齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式必须为0.
由此即可求出参数的值，再验证对于这些值，方程组是否确有非零解。
解方程组的系数行列式。
令。即，得。
不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解。
评注判断方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组有无非零解的问题，是克莱姆法则的一个应用。它告诉我们，当齐次线性方程组有非零解时，其系数行列式必定为零。随后的矩阵理论将会证明其逆命题：
当齐次线性方程组的系数行列式为零时，必有非零解。
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