第二章行列式。
第一章我们讨论了线性方程组的解法，那么能否将线性方程组的求解公式化（符号化）呢？借助于行列式，我们可以把方程的个数与未知量的个数相等的线性方程组的理论符号化．行列式最早出现于求解线性方程组，其名称最先由法国大数学家柯西（cauchy，augustin louis，1789-1857）使用，它的理论体现了数学符号化的强大威力，而且行列式是常用的数学工具之一．
本章主要介绍阶行列式的定义、性质、计算及**性方程组方面的应用．
引例插值问题。
给定平面上个点，其中互不相等．试构造一个次多项式曲线，使其通过给定的个点．
设所求次多项式为，其中为待定系数，则。
问题归结为求解此线性方程组（注意该方程组中方程的个数与未知量的个数相等）．
第一节阶行列式。
一、二阶与三阶行列式。
例1 当时，利用消元法求解二元线性方程组。
解由消元法，得等价方程组。
则方程组的解为。
引进记号。则线性方程组（2.2）的解可以表示为。
定义1 由数构成的表达式，称为二阶行列式，记为。
简记为，或，或，其中表示二阶行列式中第行第列的元素．此定义也称为二阶行列式的对角线法则（如下图，其中由左上角到右下角的连线称为行列式的主对角线，由右上角到左下角的连线称为行列式的副对角线）．行列式的记号由英国数学家凯莱(arthur cayley)于2024年给出．
图3利用二阶行列式，令，称为方程组（2.2）的系数行列式，若记。
则线性方程组（2.2）的解可以表示为。
例2 利用行列式求解线性方程组。
解 ，，得方程组的解为．
定义2 三阶行列式简记为，或，或，定义为。
此定义也称为三阶行列式的对角线法则（如下图）.
图4例3 计算三阶行列式．
解 ．二、阶行列式。
一般地，把个元素排成行列，称。
为阶行列式，简记为，或，或．它表示一个数，称为阶行列式的值。
下面用归纳法给出阶行列式的定义．考察三阶行列式。
记。令，则三阶行列式可以表示为。
定义3 在阶行列式中，将元素所在的行和列划去，剩下的元素不改变排列顺序，所构成的一个阶行列式，称为元素的余子式，记作；令。
称为元素的代数余子式．
例4 写出三阶行列式第2行第3列元素的余子式与代数余子式．
解 ．定义4 当时，定义一阶行列式．若定义了阶行列式，则定义阶行列式为。
2.6）式也称为阶行列式关于第一行的展开式。
根据以上得到（2.6）式的思想，阶行列式还可定义为。
2.7）式也称为阶行列式关于第一列的展开式．
例5 计算三阶行列式．
解 ，或。例6 证明：
1）下三角行列式2.8）
（2）上三角行列式2.9）
证 （1）利用数学归纳法．一阶行列式时，结论显然成立．设阶行列式时结论成立，则对阶行列式，由（2.6）式，有。
同理可证（2）．
我们把上（下）三角行列式统称为三角行列式，其值等于主对角线上元素的乘积．特别地，主对角行列式。
例7 证明副对角行列式。
证利用数学归纳法．一阶行列式时，结论显然成立．设阶行列式时结论成立，则对阶行列式，由（2.7）式，得。
类似可证明。
需要说明的是，以上（2.8）、（2.9）、（2.10）、（2.11）、（2.12）式在行列式的计算中可作为公式使用．
思考题一。1．四阶及四阶以上的行列式存在对角线法则吗？
2．在给定行列式中，元素的余子式和代数余子式为什么仅与元素的位置有关，而与元素的。
值无关？3．证明（2.9）式．
4．证明（2.12）式．
第二节行列式性质与展开定理。
从上节可知，当较大时，由阶行列式的定义计算行列式（除某些特殊行列式外）是非常繁琐的．本节所介绍的行列式的性质及行列式展开定理，不仅能大大简化行列式的计算，对行列式的理论研究也有重要意义．
一、行列式的性质。
定义5 设阶行列式，将中的行与列互换，所得到的阶行列式称为的转置行列式，记为，即．
性质1 行列式与其转置行列式的值相等．
证对行列式的阶数用数学归纳法．对二阶行列式，结论显然成立．设阶数为时结论成立，当阶数为时，令，设．由（2.6）式，得。
其中为行列式的元素的代数余子式．由（2.7）式，得。
其中为的元素的代数余子式，且．
由归纳法假设知，所以．注意，则。
性质1表明，在行列式中，行与列在行列式的性质方面的地位是对等的，即凡是对行成立的性质对列也成立；反之亦然．
性质2 交换行列式的任意两行（或列），行列式的值变号．
证对行列式的阶数用数学归纳法．对二阶行列式，结论显然成立．设阶数为时结论成立，当阶数为时，设交换第行与第行得到，下证．
不妨设．由（2.7）式，得。
其中为的元素的代数余子式．注意到。
则．同理可得．由归纳法假设，得．所以。
推论若行列式中有两行（或列）对应元素相同，则该行列式的值为零．
性质3 数乘以行列式，相当于用数乘以行列式的某一行（或列）的所有元素．
证对行列式的阶数用数学归纳法．对一阶行列式，结论显然成立．设阶数为时结论成立，当阶数为时，设的第行乘以得到，下证．
（1）当时，由（2.6）式，得。
（2）当时，由（2.6）式，得。
由归纳法假设，得．所以。
推论1 若行列式的某一行（或列）具有公因子，则公因子可以提到行列式记号外面来．
特别地，如果行列式中的某一行（或列）的元素全为零，则行列式的值等于零．
推论2 如果行列式中有两行（或列）对应元素成比例，则此行列式的值为零．
性质4 如果行列式的某一列（或行）的元素等于两组数之和，即。
则等于下列两个行列式之和：
性质5 将行列式的某一行（或列）的元素乘以数，加到另一行（或列）对应的元素上去，行列式的值不变，即。
为了表述方便，通常用表示行列式的第行，用表示行列式的第列；用。
）表示交换行列式的第行（列）与第行（列）；用（）表示数乘以行列式的第行（列）；用（）表示数乘以行列式的第行（列）加到第行（列）上去．
利用行列式的性质可以简化行列式的计算，其基本思路是将行列式化成易于求值的行列式（参考（2.8）、（2.9）、（2.10）、（2.11）、（2.12））．
例8 计算四阶行列式．
解 例9 计算三阶行列式．
解先化简行列式中元素，再计算行列式．
例10 计算阶行列式．
解方法一： 方法二：
例11 计算四阶行列式．
解 ，由（2.12）式，得．
二、行列式按行（或列）展开定理。
由行列式的定义可知：一般地，低阶行列式比高阶行列式易于计算．下面所介绍的行列式展开定理体现了这种思想．法国著名数学家是该理论的奠基人，而法国著名数学家pierre simon laplace（1749-1827）是该理论的集大成者．
将行列式定义按行与列推广，我们给出下面定理：
定理1 行列式等于它的某一行（或列）的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即。
或。证设阶行列式．当时，（2.13）显然成立．当时，有。
由（2.6）式，得，其中分别为中第一行元素的代数余子式．又。
其中分别为中元素的余子式和代数余子式．所以。
即．这就证明了（2.13）式．同理可证（2.14）式．
推论行列式某一行（或列）的元素与另一行（或列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即。
或。要注意的是，在利用行列式展开定理计算行列式时，一般应该首先利用行列式的性质将行列式的某行（或列）的元素尽可能多的化为零，再利用展开定理把行列式按该行（或列）展开，这样可以大大简化行列式的计算．
例12 利用行列式展开定理求解例8．
解第3列元素较简单，利用行列式的性质把第3列的元素化成只有一个不为零，有。
把行列式按第3列展开，有。
上面最后一个三阶行列式第3行的元素较简单，利用行列式的性质把第3行的元素化成只有一个不为零，再按第3行展开，得。
这种计算行列式的方法称为降阶法．
例13 计算阶行列式．
解把行列式按第1列展开，得。
例14 计算阶行列式，其中各个．
解将按第一行展开，有。
有递推公式，所以。
这种计算行列式的方法称为递推法．
例15 设，求．
解方法一：由定理1的推论知，表示行列式的第3列元素与第2列对应元素的代数余子式的乘积之和，其值为零．
方法二：．例16 形如。
的行列式称为阶范德蒙德（vandermonde）行列式．证明。
证对行列式的阶数利用数学归纳法．当时，有。
此时（2.17）式成立．设阶数为时（2.17）式成立，则当阶数为时，有。
注：（2.17）式可作为公式使用．如。
思考题二。1．试问与相等吗？
3第二章行列式
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第二章行列式习题答案
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