第二章杆件的内力。截面法。
一、基本要求。
1．了解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲的概念；
2．掌握用截面法计算基本变形杆件截面上的内力；
3．熟练掌握基本变形杆件内力图的绘制方法。
二、内容提要。
1．轴向拉伸和压缩。
1）轴向拉伸或压缩的概念。
受力特点：外力或合外力与轴线重合；
变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。
2）轴力。轴向拉压时，杆件截面上分布内力系的合力的作用线与杆件轴线重合，称为轴力。一般用表示，单位为牛顿（n）。
轴力的正负号规定：拉为正，压为负。
3）轴力图。
表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。该图一般以平行于杆件轴线的横坐标x轴表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上轴力的大小。正的轴力画在x轴上方，负的轴力画在x轴下方。
2．扭转。1）扭转的概念。
受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。
变形特点：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。
轴：以扭转为主要变形的杆件称为轴。
2）外力偶矩。
传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速n与传递的功率p来计算。
当功率p单位为千瓦（kw），转速为n（r/min）时，外力偶矩为。
当功率p单位为马力（ps），转速为n（r/min）时，外力偶矩为。
3）扭矩、扭矩图。
当外力偶矩已知，利用截面法可求任一横截面上的内力偶矩—扭矩，用表示。
扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则，t矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）。
表示扭矩随杆件轴线变化规律的图线称为扭矩图。扭矩图作法与轴力图相似。正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。
3．弯曲内力。
1）基本概念。
弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形称为弯曲变形。
以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。
对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲。
其力学模型如图2-3所示。
2）梁的计算简图
静定梁：所有支座反力均可由静力平衡方程确定的梁。
静定梁的基本形式有简支梁、悬臂梁、外伸梁。计算简图分别如图2-4（a）、（b）、（c）所示。
3）剪力和弯矩。
剪力：受弯构件任意横截面上与横截面相切的分布内力系的合力，称为剪力，用fs表示。
弯矩：受弯构件任意横截面上与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，称为弯矩，用m表示。
剪力和弯矩的正负号规定：从梁中取出长为dx的微段，若横截面上的剪力使dx微段有左端向上而右端向下的相对错动趋势时，此剪力fs规定为正，反之为负（或使梁产生顺时针转动的剪力规定为正，反之为负），如图2-5（a）、（b）所示；若弯矩使dx微段的弯曲变形凸向下时，截面上的弯矩m规定为正，反之为负（或使梁下部受拉而上部受压的弯矩为正，反之为负），如图2-5（c）、（d）所示 。
根据内力与外力的平衡关系，若外力对截面形心取矩为顺时针力矩，则该力在截面上产生正的剪力，反之为负的剪力（顺为正，逆为负）；固定截面，若外力或外力偶使梁产生上挑的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为负的弯矩（上挑为正，下压为负）。
4）剪力方程和弯矩方程。
一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数，即。
上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。
5）剪力图和弯矩图。
为了直观地表达剪力fs和弯矩m沿梁轴线的变化规律，以平行于梁轴线的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应横截面上的剪力和弯矩，所绘出的图形分别称为剪力图和弯矩图。
剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种：
1）剪力、弯矩方程法：即根据剪力方程和弯矩方程作图。其步骤为：
第一，求支座反力。
第二，根据截荷情况分段列出fs(x)和m(x)。
在集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。
第三，求控制截面内力，作fs、m图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，fs=0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。
将控制截面的内力值标在的相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。并注明的数值。
2）微分关系法：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和弯矩图。
载荷集度q（x）、剪力fs（x）与弯矩m（x）之间的关系为：
根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。
a)若某段梁上无分布载荷，即，则该段梁的剪力fs（x）为常量，剪力图为平行于轴的直线；而弯矩为的一次函数，弯矩图为斜直线。
b)若某段梁上的分布载荷（常量），则该段梁的剪力fs（x）为的一次函数，剪力图为斜直线；而为的二次函数，弯矩图为抛物线。当（向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当（向下）时，弯矩图为向上凸的曲线。
c)若某截面的剪力fs（x）=0，根据，该截面的弯矩为极值。
利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：
第一，求支座反力（对悬臂梁，若从自由端画起，可省去求支反力）；
第二，分段确定剪力图和弯矩图的形状；
第三，求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；
第四，确定和。
可能出现的地方：①集中力f作用处；②支座处。
可能出现的地方：①剪力fs=0的截面；②集中力f作用处；集中力偶m作用处。
6）平面刚架和平面曲杆的弯曲内力。
刚架：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。
平面刚架：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。
各杆连接处称为刚节点。
刚架变形时，刚节点处各杆轴线之间的夹角保持不变。
静定刚架：凡未知反力和内力能由静力学平衡条件确定的刚架。
平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，一般还有轴力。作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：弯矩图画在各杆的受压一侧，且不注明正、负号。
剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），且必须注明正负号；剪力正负号的规定与梁相同，轴力仍以拉伸为正，压缩为负。
平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆。平面曲杆横截面上的内力情况及其内力图的绘制方法，与刚架相类似。
三、典型例题分析。
例2-1 在图2-6（a）中，沿杆件轴线作用f1、f2、f3、f4。已知：f1=6kn，f2=18kn，f3=8kn，f4=4kn。试求各段横截面上的轴力，并作轴力图。
解：1．计算各段轴力。
ac段：以截面1-1将杆分为两段，取左段部分（图（b））。
由得。kn （拉力）
cd段：以截面2-2将杆分为两段，取左段部分（图(c)）。
由得。kn（压力）
的方向与图中所示方向相反。
db段：以截面3-3将杆分为两段，取右段部分（图(d)）。
由得。kn（压力）
的方向与图中所示方向相反。
2．绘轴力图。
以横坐标x表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的轴力，选取适当比例，绘出轴力图（图（e））。在轴力图中正的轴力（拉力）画在x轴上侧，负的轴力（压力）画在x轴下侧。
例2-2 传动轴在图2-7（a）所示。主动轮a输入功率为pa＝36kw，从动轮b、c、d输出功率分别为pb＝pc＝11kw，pd＝14kw，轴的转速为n＝300r/min。试作轴的扭矩图。
解：1．计算各轮上的外力偶矩。
2．计算各段扭矩。
bc段：以截面i—i将轴分为两段，取左段部分（图(b)）。由平衡方程。
得。负号说明所假定的方向与实际扭矩相反。
同理，在ca段内，
在ad段内，3．以横坐标x表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的扭矩大小，选取适当比例，绘出扭矩图。正的扭矩画在x轴上侧，负的扭矩画在x轴下侧。
例2-3 图示简支梁受集中力f作用，试利用剪力方程和弯矩方程绘出该梁的剪力图和。
弯矩图。解：1.求支反力。
由，得。2.列剪力、弯矩方程。
在ａｃ段内，在bc段内。
3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。
图：在ac、cb段内，剪力方程均为常数，因此两段剪力图均为平行于x轴的直线。在集中力f作用处，，左、右两侧截面的剪力值发生突变，突变量；
图：在ac、cb段内，弯矩方程均是的一次函数，因此两段弯矩图均为斜直线。求出控制截面弯矩，标在坐标系中，并分别连成直线，即得该梁的弯矩图。
显然在集中力f作用处左、右两侧截面上弯矩值不变，但在该截面处弯矩图斜率发生突变，因此在集中力f作用处弯矩图上为折角点。
例2-4 受均布载荷作用的简支梁，如图2-9所示，试作梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求支反力。
2.列剪力、弯矩方程。
3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。
在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且在fs=0处弯矩m取得极值。
例2-5 如图2-10所示简支梁，在c点处受矩为me的集中力偶作用，试作梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求支反力。
由平衡方程和得。
2.列剪力、弯矩方程。
在ac段内。
在bc段内。
3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。
在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为，而剪力图无改变。
例2-6 如图2-11所示简支梁。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：1.求支反力。
由平衡方程和求得。
2.列剪力、弯矩方程。
ac段：cb段：
3．求控制截面内力，绘、图。
图：ac段内，剪力方程是的一次函数，剪力图为斜直线，求出两个端截面的剪力值，，，标在坐标系中，连接两点即得该段的剪力图。cb段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，连一水平线即为该段剪力图。
梁ab的剪力图如图2-11(b)所示。
图：ac段内，弯矩方程是的二次函数，弯矩图为二次曲线，求出两个端截面的弯矩，，，分别标在坐标系中。在处弯矩取得极值。
令剪力方程，解得，求得，标在坐标系中。根据上面三点绘出该段的弯矩图。cb段内，弯矩方程是的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，标在坐标系中，并连成直线。
ab梁的图如图2-11(c)所示。
例2-7 梁的受力如图2-12（a）所示，试利用微分关系作梁的、图。
解：1.求支反力。
由平衡方程和求得。
2.分段确定曲线形状。
由于载荷在a、d处不连续，应将梁分为三段绘内力图。
根据微分关系，，，在ca和ad段内，，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线；db段内，，且为负值，剪力图为斜直线，图为向上凸的抛物线。
3.求控制截面的内力值，绘、图。
图：，，据此可作出ca和ad两段图的水平线。，，据此作出db段图的斜直线。
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