第二章静电场习题解答。
2-1．已知半径为的导体球面上分布着面电荷密度为的电荷，式中的为常数，试计算球面上的总电荷量。
解取球坐标系，球心位于原点中心，如图所示。由球面积分，得到。
2-2．两个无限大平面相距为d，分别均匀分布着等面电荷密度的异性电荷，求两平面外及两平面间的电场强度。
解对于单一均匀带电无限大平面，根据对称性分析，计算可得上半空间和下半空间的电场为常矢量，且大小相等方向相反。由高斯定理，可得电场大小为。
对于两个相距为的d无限大均匀带电平面，同样可以得到。
因此，有。2-3．两点电荷和，分别位于和处，求点处的电场强度。
解根据点电荷电场强度叠加原理，p点的电场强度矢量为点s1和s1处点电荷在p处产生的电场强度的矢量和，即。
式中。代入得到。
2-7．一个点电荷+q位于（-a, 0, 0）处，另一点电荷-2q位于（a, 0, 0）处，求电位等于零的面；空间有电场强度等于零的点吗？
解根据点电荷电位叠加原理，有。
式中。代入得到。
电位为零，即令。
简化可得零电位面方程为。
根据电位与电场强度的关系，有。
要是电场强度为零，必有。
即。此方程组无解，因此，空间没有电场强度为零的点。
2-9．电场中有一半径为a的圆柱体，已知圆柱内、外的电位为。
求：（1）圆柱体内、外的电场强度；（2）这个圆柱是由什么材料构成的，表面有电荷吗？
解 （1）根据电位与电场强度的关系式。
得到。（2）由于圆柱体是等位体，且圆柱内电场为零，判断材料是导体。有根据电位边界条件。而。所以。
2-11．两无限大平行板电极，距离为d，电位分别为0和u0，两板间充满电荷密度为的介质，如图所示。求两极板间的电位分布和极板上的电荷密度。
解由于两无限大平板间存在电荷密度分布，电位函数满足泊松方程。又平板沿y和z方向无穷大，电位分布与x和z无关，因此，有。
且满足边界条件。
求解二阶常微分方程，得到。
应用边界条件，有。
所以。根据电位满足的边界条件。
可得在下极板上表面的电荷密度分布为。
下极板导体中的电位为零，有。
代入，得到。
对于上极板，导体中的电位为常数。
有。上极板下表面电荷密度为。
2-15．空间某区域中的电荷密度在柱坐标系中为（c/m3），应用高斯定理求电通密度d。
解根据题意知，电荷密度分布与φ、z无关，因此场分布具有柱对称性，电通密度矢量d仅有分量，由高斯定理。
取圆柱面为高斯面，有。
2-17．在真空中放置一无限长线电荷密度为ρl的细金属棒，证明在径向距离上的两点ρ1、ρ2之间的电位差为。
解首先计算无限长带电金属棒在空间任一点产生的电场。由于线电荷分布无限长，电通密度矢量仅有径向分量，且在同一圆柱面上电通密度矢量的大小相等，根据高斯定理，有。
由此得到电通密度矢量。
而电场强度为。
根据电位的定义，在径向选择一点为参考点，则有。
2-25．如图所示，电荷q 距离两无限大接地直角平面xy平面的垂直距离为d，距离xz平面的垂直距离也是d。利用镜像法求任一点p(0, y, z)的电位和电场。
解两个半无限大导体平面间的夹角，，则所需镜像电荷数为3。首先，移去沿z轴放置的导体平板，在的空间填充的介质，并在与放置+q对称的位置上放置等量异号电荷-q，如图所示。其次，移去y轴放置的导体板，在的下半空间填充的介质，并在与上半空间放置电荷的对称位置上放置等量异号电荷。
利用点电荷叠加原理，得到四个点电荷在p(0, y, z)点产生的电位为。
验证可得。根据唯一性定理，边值问题的解为。
2-26．设一点电荷q与无限大接地导体平面的距离为d，如图所示。求：（1）上半空间的电位分布和电场强度；（2）导体平面上的感应电荷密度；（3）点电荷所受的力。
解 （1）采用镜像法。移去接地导体板，用ε0的介质填充，并在与+q对称的位置s(0,0,-d)处放置一镜像电荷-q，则上半空间任一点的电位为。
根据电场强度与电位的关系式，有。
2）根据电通密度矢量的边界条件，得到感应电荷分布密度为。
在导体表面上z=0，r1=r2，令r=r1=r2，得到导体表面的电场强度为。
因此，有。3）点电荷+q所受的力就是点电荷+q与镜像电荷-q之间的作用力，也就等于点电荷+q与无限大导体板上感应电荷之间的作用力，方向向下，沿方向，即。
2-27．如图所示，一个沿z轴很长且中空的矩形金属管，其中三边保持零电位，第四边电位为u，求：（1）当u=u0时，管内的电位分布；（2）当时，管内的电位分布。
解由于矩形金属管沿z轴方向无限长，故金属管内电位与z无关，由此得到金属管电位分布的边值问题为。
令。代入拉普拉斯方程，得到x(x) 和y(y)满足的本征方程为。
常数kx和ky满足。
由边界条件可得本征函数满足的边界条件为。
本征函数x(x)在边界上有一个零点，其解应取双曲函数形式。
本征函数y(y)在边界有两个零点，y(y)取三角函数形式。
根据边界条件，有。
而。显然，d不能为零，否则电位函数恒为零，因此。
由于。得到。
本征函数x(x)的解形式为。
根据线性叠加原理，得到矩形金属管内电位的通解为。
式中bm为待定系数。
利用非零边界条件，有。
该式就是奇周期函数的傅里叶级数展开式，所以需要把u在(-b, b)进行奇周期延拓，即取为奇函数，然后求傅立叶级数的系数，有。
则bm为。将bm代入，得到边值问题的解为。
或。2) 当时，有。
比较两边系数，得到。
因此，电位分布为。
2-28．两平行的无限大导体平面，其间距离为b，在两板间沿x方向有一无限长的极薄的导体片，其坐标由y=d到y=b，如图所示。上板和薄片保持电位为u0，下板为零电位，求板间的电位分布。设在薄片平面上，从y=0到y=d电位线性变化，即。
解由于平板沿x方向无穷大，且与两区域对称，因此两区域间的电位分布相同，仅需求解区域的电位分布。
为了求解电位分布，应用电位叠加原理，把电位分布看作是由如题2-28图（a）和（b）两个电位分布的叠加。对于题2-28（a）两平行板之间的电位，有。
对于题2-28图（b）所示的两板间的电位分布，首先列出边界条件为。
根据边界条件。
可知电位沿y方向应取如下形式。
根据边界条件。
可取电位沿x方向变化为。
由此可设薄片的电位分布为。
则两平板间区域的电位是和的叠加，即。
在的分界面上，电位满足。
为了确定系数，上两式两边乘以，并从0到b积分，得到。
两式相加，并利用积分式。
有。利用积分式。
有。把代入，得到。
同理可得区域的电位为。
第二章习题解答
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