尺规作图。
前言】在世界数学史上，我国的“规”和“矩”是最早使用的画图工具。 在我国汉武帝粱祠的造像中，绘有“伏羲手执规，女娲手执矩”的画像。伏羲、女娲都是我国上古时期传说中的人物。
“规”是画圆的工具，“矩”是画方的工具。 很多文献记载中都提到夏禹治水（公元前2024年前）曾经用到规和矩。
周髀算经》上的“方圆图”和“圆方图”，是我国最早的文字记载。成语“不以规矩，不成方圆。”说明规、矩这两种几何作图工具早在民间已广泛使用。
初中平面几何的研究对象，主要是直线、圆以及由它们(或其一部分)所组成的图形。 因此，作为几何学的作图工具，延续至今习惯上限用(无刻度的)直尺和圆规。 而在现实的教学中，为了学生使用方便、省事和减少误差，允许用带。
刻度的直尺、三角尺、量角器等作图工具。 但是不得随便扩大其作用，仅凭直观感觉去“凑”出一个图来。
只用直尺或圆规来完成的作图叫做尺规作图。
那么用直尺或圆规在作图时，能完成哪些基本操作呢？在几何学里，认可用直尺或圆规能或只能完成如下几个最基本的操作，作为作图公法。
1. 画线。经过两个已知点，可作一条直线(或画一条射线、线段).
2. 作圆。已知圆心和半径，可作一个圆(或画一段弧).
3. 求交点。两条已知直线、两个已知圆或一条已知直线与一个已知圆，如其相交，可确定其交点。
上述的三条作图公法，既是以直线公理，圆的概念，直线与直线、圆与圆、直线与圆的位置关系等为基础，又是规定了直尺和圆规三种基本功能，是画几何图形的基础。
大家知道，已知经过已知点a的直线m有无数条，如果再能确定一个点b，那么经过点a、b的直线m就唯一确定了。 同样，如果能确定一个圆的圆心o，那么该圆的位置也就确定了。 因此，平面几何的作图问题，常常转化为确定一个关键点的位置，而这个点又需要同时满足两个条件，这两个条件又可以分别用直线或圆弧来表示，这样利用作图公法3就把问题解决了。
请重视作图公法3在作图中的作用。
例如，求作已知角的角平分线。
已知：，求作：的角平分线。
分析1】问题的关键是找到的角平分线要经过的一点e. 这就需要作以、为对应角的两个全等三角形。
作法1：1） 以点o为圆心，任意长为半径画弧，分别交oa、ob于点c、d.
2） 分别以点c、d为圆心，大于cd长的线段为半径画弧，两弧交于e.
3） 作射线oe.
则射线oe为的角平分线。
作法2：1）以点o为圆心，任意长为半径画弧，分别交oa、ob于点c、d.
2）再以点o为圆心，不同于（1）中长度为半径画弧，分别交oa、ob于点m、f.
3）连结cf，dm，交于点e，作射线oe.
则射线oe为的角平分线。
分析2】要找到的角平分线经过的一点e. 只要使点e到oa、ob两边的距离相等。
作法3：1） 作fg∥oa，且使得它们的距离为h.
2） 作tk∥ob，且使得它们的距离为h，设tk与fg两线交于点e.
3）作射线oe.
则射线oe为的角平分线。
一、中考要求。
注：在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法．
二、知识要点。
一）尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
二）基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a .
求作：线段ab，使ab = a .
作法：（1）作射线ap；
2）在射线ap上截取ab=a .
则线段ab即为所求。
2、作已知线段的垂直平分线（中点、垂线）
已知：如图，线段mn.
求作：线段mn的垂直平分线．
作法：1）分别以m、n为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于p，q两点；
2）作直线pq．
则pq即为所求．
3、作已知角的角平分线。
已知：如图，∠aob，求作：∠aob的平分线．
作法：1）以o为圆心，任意长度为半径画弧，分别交oa，ob于m，n；
2）分别以m、n为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧交∠aob的内部于点ｐ；
1） 作射线op．
则射线op就是∠aob的角平分线．
4、作一个角等于已知角。
已知：如图，∠aob，求作，使得．
作法：1）以o为圆心，任意长为半径画弧，交oa于c，ob于d；
2）作射线，以为圆心，oc长为半径画弧，交于；
3）以为圆心，cd长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点；
4）过点作射线．
则即为所求．
5、过一点作已知直线的垂线。
已知：一点p和直线l,求作：直线mn，使得直线mn过p点，且mn⊥l.
1）若点p在直线l外。
作法：①以p点为圆心，适当长度r1（r1>p点到已知直线l的距离）为半径画弧，交l于a、b两点。
分别以a、b点圆心，适当长度r2（r2>ab长）为半径画弧，两弧交于c点。
过p、c两点作直线mn，则直线mn为所求。
2）若点p在直线l上，作法1：
①任取一点o为圆心，以op长为半径作圆o，交直线l于另一点a.
②作⊙o的直径ab.
③过p、b两点作直线mn，则直线mn为所求。
作法2：①以p点为圆心，任意长r1为半径画弧，交直线l于a、b两点。
②分别以a、b点为圆心，以大于ap的线段r2为半径画弧，两弧交于c点。
③过p、c两点作直线mn，则直线mn为所求。
三、复习建议。
一）在尺规作图的问题后，可以追问作图依据；
例、（15北京）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
**：学科网zxxk]
小芸的作法如下：
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是。
分析：实际上作图依据就是在得到线段的垂直平分线的过程中所用到的定理。
我们可以写出推理过程：
点c**段ab的垂直平分线上。 （到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
同理可得点d**段ab的垂直平分线上。
直线cd是线段ab的垂直平分线。（两点确定一条直线）
答：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．
上学期我们备课组根据此题对学生进行有关方面训练，比如三角形的外接圆和内切圆的作法等。
二）可以将中考说明中要求的作图问题作为复习前的作业，让学生对于基本问题进行系统的复习回顾。
1、作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a .
求作：线段ab，使ab = a .
2、作已知线段的垂直平分线（中点、垂线）
已知：如图，线段mn.
求作：线段mn的垂直平分线．
3、作已知角的角平分线。
已知：如图，∠aob，求作：∠aob的平分线．
4、作一个角等于已知角。
已知：如图，∠aob，求作，使得．
5、过一点作已知直线的垂线。
已知：一点p和直线l,求作：直线mn，使得直线mn过p点，且mn⊥l.
6、已知三边作三角形。
已知：如图，线段a，b，c.
求作：△abc，使ab = c，ac = b，bc = a.
7、已知两边及夹角作三角形。
已知：如图，线段m，n,∠.
求作：△abc，使∠a=∠，ab=m，ac=n.
8、已知两角及夹边作三角形。
已知：如图，∠，线段m .
求作：△abc，使∠a=∠，b=∠，ab=m.
9、已知底边及底边上的高线作等腰三角形．
已知：如图，线段a，h.
求作：等腰△abc，底边长为a，底边上的高为h.
10、已知一直角边和斜边作直角三角形。
已知：如图，线段a，c.
求作：直角△abc，，bc=a，ab=c.
11、作三角形的外接圆和内切圆。
12、作圆的内接正方形和正六边形。
13、过一点作圆的切线。
14、过直线外一点作已知直线的平行线。
已知，直线l和直线l外一点p，过点p求作一直线m，使得m//l．
三）结合题目条件思考如何利用交轨法作图，如何应用基本作图来解决问题。
例1、（2013**）两个城镇a、b与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在c处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇a、b的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点c应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点c．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
分析：到城镇a、b距离相等的点**段ab的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点c．
由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点c有2个．
解：（1）作出线段ab的垂直平分线；
2）作出角的平分线（2条）；
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