第13次课：视图与投影（二）
一、考点、热点回顾。
一）三视图。
1．视图：我们从某一角度观察一个物体时，所看到的物象叫做一个物体的视图。
2．三视图：我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形。其中，把从正面内得到的由前向后观察物体的视图叫做主视图，在侧面内得到的由左向右观察物体的视图叫做左视图，由水平面内得到的由上向下观察物体的视图叫做俯视图。
三个视图合起来简称为三视图．
3．三视图中三个视图之间的位置关系为：俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方。
4. 三视图中三个视图之间的大小关系为：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等。
这里的长、宽、高分别对应三视图所示物体的左右之间、前后之间、上下之间的长度。
二）投影。1．投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子。
叫做物体的投影（projection），照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
2．平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影（parallel projection).
3．中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影（center projection).
4．正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。
5.正投影的性质：物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。
二、典型例题。
例1．某时刻两根木棒在同一平面内的影子如图9-1所示，此时，第三根木棒的影子表示正确的是（ ）
思路点拨】我们将木棒抽象为线段，将图9-1中平面内两个影子的远端点分别与两根直立木棒的上端点连成直线，两条直线的交点，就是光源，连接光源与第三根木棒的上端点，找到与所在平面的交点，此交点与第三根木棒的下端点连结的线段处就是所求的第三根木棒的影子。
解答示范】选（ｄ）
归纳点评】由已知条件我们画出的投影线知道此题属于中心投影。投影现象与我们的生活密切相关，要善于观察生活，理解数学源于生活、应用与生活的数学价值。
2． 平行投影。
一般说，投影线是一束射线，其中各条射线的位置关系可以分为两种情形：平行和相交于同一点。因投影线的不同位置关系，一般地可以将投影分为两类：平行投影和中心投影。
我们后面讨论视图时主要用到平行投影，这里所说的“平行”是空间直线的平行， 与平面几何中的平行线不同，空间中一组平行线不全在同一个平面内，但是其中任意两条直线共面。
例2.下列四幅图形中，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是 （
2024年常州市中考试题）
思路点拨】在平行投影中，物体的影子应该在同一个方向，排除了（b）、（c），且同一时刻、同一地点、不同物体的影子的长度与它们的长度成正比，即高的物体的投影也应较长。
解答示范】选（a）
归纳点评】投影现象在我们的生活中无处不在，要多留心观察。
例3. 小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为（ ）
（a）上午12时 （b） 上午10时 （c）上午9时30分 （d） 上午8时。
思路点拨】一天中阳光下的影子是发生变化的，太阳东升西落，在上午，随着太阳位置的升高，向日葵的影子的长度会逐渐变短。
解答示范】（d）
归纳点评】由于太阳的东升西落，我们不仅能判断影子的长短，还能判断影子的方向。反过来，也可由影子的方向判断是上午还是下午。
3. 利用平行投影的特点进行简单计算。
太阳光线照射下的投影是平行投影的典型代表。在平行投影下，相同时刻、相同地点、
不同物体的影子的长度与它们的长度成正比。根据阳光下物体影子的大小、位置的变化可以判断一天中不同的时间先后；另外，利用平行投影的特点进行简单计算的题目，要注意与相似三角形和三角函数等知识的整合。
例4.在一次数学活动课上，***带领学生去测教学楼的高度。在阳光下，测得身高1.
65米的黄丽同学bc的影长ba为1.1米，与此同时，测得教学楼de的影长df为12.1米。
ⅰ）请你在图9-2中画出此时教学楼de在阳光下的投影df.
ⅱ）请你根据已测得的数据，求出教学楼de的高度（精
确到0.1米）.
2024年湖南益阳中考试题）
思路点拨】由于是平行投影，根据连接人头顶c与影子顶端a的直线确定阳光照射的角度，过e点作ac的平行线，便可做出教学楼的影子。利用平行线的性质，可得出所形成的两个三角形是相似的，可以计算出教学楼的高。
解答示范】
解：（ⅰ如图9-3，注意ac与ef平行；
ⅱ）∵ac∥ef
abc∽fde
解得：de＝18.15≈18.2（米）.
即教学楼de的高度为18.2米。
归纳点评】利用平行投影的特点进行简单计算的题目，要注意与相似三角形等知识的结合。
例5：如图9-4，某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树ab的影长ac为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．
ⅰ）求出树高ab；
ⅱ）因水土流失，此时树ab沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线。
与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．
计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
2006江苏宿迁中考试题）
思路点拨】由于题目给出了太阳光线与地面成一定角度，可以考虑转化为解直角三角形的问题来解决。求树影的最大长度时，考虑在树ab倒下的过程中树顶的运动轨迹，哪一个位置遮住的光线最多。
解答示范】
解：ⅰ）在rt△a bc中，∠bac＝90°，∠c＝30°
tancab＝ac·tanc
≈5.2（米）
ⅱ）以点a为圆心，以ab为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点d为切点，de⊥ad交ac于e点，（如图9-5
在rt△ade中，∠ade＝90°，∠e＝30°，ae＝2ad
2×5.2＝10.4（米。
答：树高ab约为5.2米，树影有最长值，最长值约为10.4米．
归纳点评】本题以平行投影的性质作为解决问题的前提，重点考查学生将分散的已知条件集中到一个直角三角形之中及解直角三角形的能力，是需要我们重点训练的内容。第二问与圆的切线知识进行了整合，很有趣味。
4.中心投影中心投影与位似变换相关。例如当一个三角板平行于投影面时，三角板的中心投影就是三角板在位似变换下的图象，它与三角板是相似图形。
中心投影下物体和影子的对应的连线经过投影中心（点光源），物体投影的大小与点光源、物体以及投影面之间的距离有关。
例6. 下列那种光线形成的投影不是中心投影（ ）
a） 手电筒 （b）吸顶灯 （c）太阳 （d）路灯
思路点拨】根据投影线发出的各条射线的位置关系是平行的还是源于同一点的来区分是平行投影还是中心投影。因为太阳光是平行投影，所以它不是中心投影。另外三种发出的光线都是中心投影。
解答示范】 选（c）
归纳点评】善于感受生活中的各种投影现象，并与数学概念相互联系着去理解，培养我们感悟知识的能力。
例7. 楼房、旗杆在路灯下的影子如图9-6所示。试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子。（不写作法，保留作图痕迹）
思路点拨】先根据已知条件确定光源的位置再确定小树的影子。
解答示范】如图9-7，a点即为光源位置，线段bc就是小树在路灯下的影子。
归纳点评】中心投影的投影（光）线是有公共端点的射线，这个端点就是点光源。
5.利用中心投影的特点进行简单计算时也要注意与相似三角形和三角函数等知识的整合．
例8．如图9-8，直角坐标平面内，一点光源位于a(0，5)处，线段cd⊥x轴，d为垂足，c(3，1)，则cd在x轴上的影长为点c的影子的坐标为。
思路点拨】如图，通过△dec∽△oea从而求出de的长度，即cd在x轴上的影长进而求出e点的坐标，即c点影子的坐标。解答示范】
归纳点评】中心投影与图形变换中讨论过的位似变换相关。
6.正投影。
正投影是与三视图有关的一种投影。正投影的特征是每条投影线都垂直于投影面。这里的投影面是平面，投影线是一组平行线。
自然影子与一般所说的正投影不同，是一片阴影，分不出某些侧棱的投影，我们所说的正投影突出了轮廓线（各条棱）的投影。
我们从线、面、体三个角度来看正投影的成像规律：
如图9-9：
ⅰ）当线段ab平行于投影面p时，它的正投影是线段a1b1，线段与它的投影的大小关系为ab=a1b1．
（ⅱ）当线段ab倾斜于投影面p时，它的正投影是线段a2b2，线段与它的投影的大小关系为ab>a2b2．
（ⅲ）当线段ab垂直于投影面p时，它的正投影是一个点a3．
如图9-10：
ⅰ）当纸板p平行于投影面q时，p的正投影与p的形状、大小一样．
ⅱ）当纸板p倾斜于投影面q时，p的正投影与p的形状、大小发生变化，面积变小了．
ⅲ）当纸板p垂直于投影面q时，p的正投影成为一条线段．
如图9-11：
ⅰ)当正方体在图（1）的位置时，正方体的一个面abcd与及其相对的另一面投影面平行，这时，正方体的正投影为正方形a′b′c′d′，它与正方体的一个面是全等关系．
ⅱ)当正方体在如图（2）的位置时，它的面abcd和面abgf倾斜于投影面，．因此，正方体的正投影为矩形f′g′c′d′，线段a′b′把矩形一分为二．
例9. 在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能是（ ）
思路点拨】想想两条平行的木条的平行投影可以是怎样的，可以是两个点，可以是两条或短或长的平行线，也可以让两条平行的影子重合为一条。注意结合实物模型，自己做做实验也是很好的方法。
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