2023年初二下数学暑假培优（第3，4题）(7月11日至17日)
3.（2010沈阳）如图1，在△abc中，点p为bc边中点，直线a绕顶点a旋转，若点b，p在直线a的异侧，bm⊥直线a于点m．cn⊥直线a于点n，连接pm，pn．
1）延长mp交cn于点e（如图2）．
求证：△bpm≌△cpe；
求证：pm=pn；
2）若直线a绕点a旋转到图3的位置时，点b，p在直线a的同侧，其它条件不变，此时pm=pn还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
3）若直线a绕点a旋转到与bc边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形mbcn的形状及此时pm=pn还成立吗？不必说明理由．
考点：旋转的性质；全等三角形的判定；矩形的判定．
专题：证明题；**型．
分析：（1）①根据平行线的性质证得∠mbp=∠ecp再根据bp=cp，∠bpm=∠cpe即可得到；
由△bpm≌△cpe，得到pm=pe则pm= me，而在rt△mne中，pn= me，即可得到pm=pn．
2）证明方法与②相同．
3）四边形mbcn是矩形，此时pm=pn成立．
解答：（1）证明：①如图2：
bm⊥直线a于点m，cn⊥直线a于点n，∠bmn=∠cnm=90°，bm∥cn，∠mbp=∠ecp，又∵p为bc边中点，bp=cp，又∵∠bpm=∠cpe，△bpm≌△cpe，（3分）
∵△bpm≌△cpe，pm=pe∴pm= me，在rt△mne中，pn= me，pm=pn．（5分）
2）成立，如图3．
证明：延长mp与nc的延长线相交于点e，bm⊥直线a于点m，cn⊥直线a于点n，∠bmn=∠cnm=90°∴∠bmn+∠cnm=180°，bm∥cn∴∠mbp=∠ecp，（7分）
又∵p为bc中点，bp=cp，又∵∠bpm=∠cpe，△bpm≌△cpe，pm=pe，pm= me，则rt△mne中，pn= me，pm=pn．（10分）
3）如图，四边形m′bcn′是矩形，根据矩形的性质和p为bc边中点，得到△m′bp≌△n′cp，（11分）
得pm′=pn′成立．即“四边形mbcn是矩形，则pm=pn成立”．（12分）
点评：本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
4.（2010南平）如图1，在△abc中，ab=bc，p为ab边上一点，连接cp，以pa、pc为邻边作平行四边形apcd，ac与pd相交于点e，已知∠abc=∠aep=α（0°＜α90°）．
1）求证：∠eap=∠epa；
2）平行四边形apcd是否为矩形？请说明理由；
3）如图2，f为bc中点，连接fp，将∠aep绕点e顺时针旋转适当的角度，得到∠men（点m、n分别是∠men的两边与ba、fp延长线的交点）．猜想线段em与en之间的数量关系，并证明你的结论．
考点：旋转的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；矩形的判定．
专题：证明题；**型．
分析：（1）根据ab=bc可证∠cab=∠acb，则在△abc与△aep中，有两个角对应相等，根据三角形内角和定理，即可证得；
2）由（1）知∠epa=∠eap，则ac=dp，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可求证；
3）可以证明△eam≌△epn，从而得到em=en．
解答：证明：（1）在△abc和△aep中，∠abc=∠aep，∠bac=∠eap，∠acb=∠ape，在△abc中，ab=bc，∠acb=∠bac，∠epa=∠eap．
2）答：平行四边形apcd是矩形．
四边形apcd是平行四边形，ac=2ea，pd=2ep，由（1）知∠epa=∠eap，ea=ep，则ac=pd，平行四边形apcd是矩形．
3）答：em=en．
ea=ep，∠epa=90°- eam=180°-∠epa=180°-（90°- 90°+ 由（2）知∠cpb=90°，f是bc的中点，fp=fb，∠fpb=∠abc=α，epn=∠epa+∠apn=∠epa+∠fpb=90°-α90°+ eam=∠epn，∠aep绕点e顺时针旋转适当的角度，得到∠men，∠aep=∠men，∠aep-∠aen=∠men-∠aen即∠mea=∠nep，△eam≌△epn，em=en．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，以及矩形的判定方法，在旋转中找到题目中存在的相等的线段以及相等的角是解决本题的关键．
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