1 -11 一质点具有恒定加速度a ＝6i ＋4j,式中a的单位为m·ｓ-2 ．在t＝0时，其速度为零，位置矢量r0 ＝10 mi．求：(1) 在任意时刻的速度和位置矢量；(2) 质点在oxy 平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图．
题 1-11 图。
分析与上两题不同处在于质点作平面曲线运动，根据叠加原理，求解时需根据加速度的两个分量ax 和ay分别积分，从而得到运动方程r的两个分量式x(t)和y(t)．由于本题中质点加速度为恒矢量，故两次积分后所得运动方程为固定形式，即和，两个分运动均为匀变速直线运动．读者不妨自己验证一下．
解由加速度定义式，根据初始条件t0 ＝0时v0 ＝0,积分可得。
又由及初始条件t＝0 时，r0＝(10 m)i,积分可得。
由上述结果可得质点运动方程的分量式，即。
x ＝10＋3t2
y ＝2t2
消去参数t,可得运动的轨迹方程。
3y ＝2x -20 m
这是一个直线方程．直线斜率，α＝33°41′．轨迹如图所示．
1 -14 为迎接香港回归，特技演员柯受良在2023年6月1日驾车飞越黄河壶口，如图所示，柯驾车从跑道东端启动，到达跑道终端时速度大小为。
他随即以仰角冲出，飞越跨度达57 m，安全着陆在西岸木桥上，求：
题 1-14 图。
1） 柯飞车跨越黄河用了多长时间？
2） 若起飞点高出河面10 m，柯驾车飞行的最高点距河面为几米？
3） 西岸木桥和起飞点的高度差为多少？
分析由题意知，飞车作斜上抛运动，对包含抛体在内的一般曲线运动。
来说，运用叠加原理是求解此类问题的普适方法，操作程序是：建立一个恰当的直角坐标系，将运动分解为两个相互正交的直线运动，由于在抛体运动中，质点的加速度恒为g，故两个分运动均为匀变速直线运动或其中一个为匀速直线运动，直接列出相关运动规律方程即可求解，本题可建立图示坐标系，图中分别表示飞车的最大高度和飞跃跨度。
解在图示坐标系中，有。
1) 由式（1），令m，得飞跃时间。
s2）由式（3），令，得飞行到最大高度所需时间。
将代入式（2），得飞行最大高度。
m则飞车在最高点时距河面距离为。
m m3）将s 代入式（2），得西岸木桥位置为。
y = 4.22 m
-”号表示木桥在飞车起飞点的下方。
1 -16 一质点沿半径为r 的圆周按规律运动，v0 、b 都是常量．(1) 求t 时刻质点的总加速度；(2) t 为何值时总加速度在数值上等于b？(3) 当加速度达到b 时，质点已沿圆周运行了多少圈？
分析在自然坐标中，s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标．由给定的运动方程s ＝s(t),对时间t 求一阶、二阶导数，即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量为an＝v2 /r．这样，总加速度为a ＝aｔeｔ＋anen．至于质点在t 时间内通过的路程，即为曲线坐标的改变量δs＝st -s0．因圆周长为2πr,质点所转过的圈数自然可求得．
解 (1) 质点作圆周运动的速率为。
其加速度的切向分量和法向分量分别为。
故加速度的大小为。
其方向与切线之间的夹角为。
2) 要使｜a｜＝b,由可得。
3) 从t＝0 开始到t＝v0 /b 时，质点经过的路程为。
因此质点运行的圈数为。
1 -20 如图(a)所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速率为v1 ,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ 角，速率为v2′,若车后有一长方形物体，问车速v1为多大时，此物体正好不会被雨水淋湿？
分析这也是一个相对运动的问题．可视雨点为研究对象，地面为静参考系ｓ,汽车为动参考系ｓ′．如图(a)所示，要使物体不被淋湿，在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v2′的方向)应满足．再由相对速度的矢量关系，即可求出所需车速v1．
题 1-20 图。
解由［图(b)］,有。
而要使，则。
2 -8 如图(a)所示，已知两物体a、b 的质量均为m＝3.0kg 物体a 以加速度a ＝1.0 m·ｓ-2 运动，求物体b 与桌面间的摩擦力．(滑轮与连接绳的质量不计)
分析该题为连接体问题，同样可用隔离体法求解．分析时应注意到绳中张力大小处处相等是有条件的，即必须在绳的质量和伸长可忽略、滑轮与绳之间的摩擦不计的前提下成立．同时也要注意到张力方向是不同的．
解分别对物体和滑轮作受力分析［图(b)］．由牛顿定律分别对物体a、b 及滑轮列动力学方程，有。
ma g -fｔ ＝ma a1)
f′ｔ1 -fｆ ＝mb a2)
f′ｔ 2fｔ1 ＝03)
考虑到ma ＝mb ＝m, fｔ ＝f′ｔ fｔ1 ＝f′ｔ1 ,a′＝2a,可联立解得物体与桌面的摩擦力。
题 2-8 图。
讨论动力学问题的一般解题步骤可分为：(1) 分析题意，确定研究对象，分析受力，选定坐标；(2) 根据物理的定理和定律列出原始方程组；(3) 解方程组，得出文字结果；(4) 核对量纲，再代入数据，计算出结果来．
2 -13 一质量为10 kg 的质点在力f 的作用下沿x 轴作直线运动，已知f ＝120t ＋40,式中f 的单位为n, t的单位的ｓ．在t＝0时，质点位于x ＝5.0 m处，其速度v0＝6.0 m·．求质点在任意时刻的速度和位置．
分析这是在变力作用下的动力学问题．由于力是时间的函数，而加速度a＝dv/dt,这时，动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程，解此微分方程可得质点的速度v (t)；由速度的定义v＝dx /dt,用积分的方法可求出质点的位置．
解因加速度a＝dv/dt,在直线运动中，根据牛顿运动定律有。
依据质点运动的初始条件，即t0 ＝0 时v0 ＝6.0 m·ｓ-1 ,运用分离变量法对上式积分，得。
v＝6.0+4.0t+6.0t2
又因v＝dx /dt,并由质点运动的初始条件：t0 ＝0 时 x0 ＝5.0 m,对上式分离变量后积分，有。
x ＝5.0+6.0t+2.0t2 +2.0t3
2 -15 质量为m 的跳水运动员，从10.0 m 高台上由静止跳下落入水中．高台距水面距离为h．把跳水运动员视为质点，并略去空气阻力．运动员入水后垂直下沉，水对其阻力为bv2 ,其中b 为一常量．若以水面上一点为坐标原点o,竖直向下为oy 轴，求：(1) 运动员在水中的速率v与y 的函数关系；(2) 如b /m ＝0.
40m -1 ,跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0 的1/10？ (假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等)
题 2-15 图。
分析该题可以分为两个过程，入水前是自由落体运动，入水后，物体受重力p、浮力f 和水的阻力的作用，其合力是一变力，因此，物体作变加速运动．虽然物体的受力分析比较简单，但是，由于变力是速度的函数(在有些问题中变力是时间、位置的函数),对这类问题列出动力学方程并不复杂，但要从它计算出物体运动的位置和速度就比较困难了．通常需要采用积分的方法去解所列出的微分方程．这也成了解题过程中的难点．在解方程的过程中，特别需要注意到积分变量的统一和初始条件的确定．
解 (1) 运动员入水前可视为自由落体运动，故入水时的速度为。
运动员入水后，由牛顿定律得。
p - f ＝ma
由题意p ＝f、＝bv2 ,而a ＝dv /dt ＝v (d v /dy),代。
入上式后得。
bv2＝ mv (d v /dy)
考虑到初始条件y0 ＝0 时， ,对上式积分，有。
2) 将已知条件b/m ＝0.4 m-1 ,v ＝0.1v0 代入上式，则得。
3 -8 fx ＝30＋4t(式中fx 的单位为n,t 的单位为s)的合外力作用在质量m＝10 kg 的物体上，试求：(1) 在开始2ｓ 内此力的冲量；(2) 若冲量i ＝300 n·s,此力作用的时间；(3) 若物体的初速度v1 ＝10 m·s-1 ,方向与fx相同，在t＝6.86 s时，此物体的速度v2 ．
分析本题可由冲量的定义式，求变力的冲量，继而根据动量定理求物体的速度v2．
解 (1) 由分析知。
2) 由i ＝300 ＝30t ＋2t2 ,解此方程可得。
t ＝6.86 s(另一解不合题意已舍去)
3) 由动量定理，有。
i ＝m v2- m v1
由(2)可知t ＝6.86 s 时i ＝300 n·s ,将i、m 及v1代入可得。
3 -9 高空作业时系安全带是非常必要的．假如一质量为51.0 kg 的人，在操作时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保护，最终使他被悬挂起来．已知此时人离原处的距离为2.0 m ,安全带弹性缓冲作用时间为0.
50 s ．求安全带对人的平均冲力．
分析从人受力的情况来看，可分两个阶段：在开始下落的过程中，只受重力作用，人体可看成是作自由落体运动；在安全带保护的缓冲过程中，则人体同时受重力和安全带冲力的作用，其合力是一变力，且作用时间很短．为求安全带的冲力，可以从缓冲时间内，人体运动状态(动量)的改变来分析，即运用动量定理来讨论．事实上，动量定理也可应用于整个过程．但是，这时必须分清重力和安全带冲力作用的时间是不同的；而在过程的初态和末态，人体的速度均为零．这样，运用动量定理仍可得到相同的结果．
解1 以人为研究对象，按分析中的两个阶段进行讨论．在自由落体运动过程中，人跌落至2 m 处时的速度为。
在缓冲过程中，人受重力和安全带冲力的作用，根据动量定理，有。
由式(1)、(2)可得安全带对人的平均冲力大小为。
解2 从整个过程来讨论．根据动量定理有。
3 -11 一只质量的垒球以水平速率扔向打击手，球经球棒击出后，具有如图（a）所示的速度且大小，若球与棒的接触时间为0.025 s,求：（1）棒对该球平均作用力的大小；（2）垒球手至少对球作了多少功？
分析第（1）问可对垒球运用动量定理，既可根据动量定理的矢量式，用几何法求解，如图（b）所示；也可建立如图（a）所示的坐标系，用动量定量的分量式求解，对打击、碰撞一类作用时间很短的过程来说，物体的重力一般可略去不计。
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