§2.2.3向量数乘运算及其几何意义。
学习目标 1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；
2. 理解两个向量共线的含义；
3. 掌握向量的线性运算性质及其几何意义。
学习过程 一、课前准备。
复习： ⑴向量的相反向量是指与。
的向量，记作 . 零向量的相反向量是 .
若，则、是 ，且= .
向量加上的相反向量，叫做即： .
二、新课导学。
学***。
问题：已知非零向量，作出：①；
通过图形，同学们能否说明它们的几何意义？
新知：我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘（multiplication of vector by scalar）,记作：，它的长度和方向规定如下：
当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反。
思考：当时，的值是一个向量还是一个实数？
根据实数与向量的积的定义，我们有以下的运算律：⑴；
根据以上的运算律，填空：
典型例题。
例1 计算：
思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？
新知：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使。
例2 已知两个两个向量和不共线，，，求。
证：、、三点共线。
三、总结提升。
学习小结。
1. 向量数乘的定义；
2. 实数与向量的积满足的运算律；
3. 两向量共线所满足的条件。
知识拓展。
1.实数与向量的积的特殊情况：当时，；而，若时，也有。
2.实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如，无法运算。
3.数乘向量还是一个向量。
当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 下列各式中不表示向量的是（ ）
a. b.
cd.（，且）
2. 在中，、分别是、的中点，若，，则等于（ ）
a. b.
c. d.
3.，，且、共线，则与（ ）
a.共线 b.不共线
c.不确定 d.可能共线也可能不共线
4. 若，与的方向相反，且，则。
5. 已知，，，则与填共线、不共线）.
2.3.1平面向量基本定理。
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示。
学习目标 1. 掌握平面向量基本定理；
2. 了解平面向量基本定理的意义；
3. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
学习过程 一、课前准备。
复习1：向量、是共线的两个向量，则、之间的关系可以表示为 .
复习2：给定平面内任意两个向量、，请同学们作出向量、.
二、新课导学。
学***。
问题：在复习2中，请大家想一想，平面内的任一向量是否都可以用形如的向量表示呢？
如下图，设、是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内的任一向量，通过作图，发现任一向量都可以表示成。
新知1：平面向量基本定理。
平面向量基本定理：如果、是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使。
其中，我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(base).
理解此定理要注意：①、是同一平面内两个不共线的向量；②该平面内的任意向量都可以用、线性表示，且这种表示是唯一的；③对于基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底。
思考：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？
新知2：两向量的夹角与垂直。
如图，已知两个非零向量和。 作，，则叫做向量与的夹角。
特别地，⑴当时，与同向；
当时，与反向；
当时，与垂直，记作：.
在不共线的两个向量中，，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。例如把图中木块所受的重力分解为向下的力和对斜面的压力。
思考：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示。 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？
新知3：向量的坐标表示。
如图，根据平面向量基本定理，有且只有一对实数、使得，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作： ，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标。
注意：符号在平面直角坐标系中有了双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区别，在叙述中，常说点，或向量。
典型例题。
例1 已知梯形中，，且，、分别是、的中点，设，
试用为基底表示、.
例2 已知是坐标原点，点在第一象限，，，求向量的坐标。
三、总结提升。
学习小结。
1. 平面向量基本定理；
2. 两向量的夹角与垂直；
3. 平面向量的坐标表示。
知识拓展。
在解具体问题时，要适当地选取基底，但其他向量能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算。
当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 设是平行四边形两对角线与的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（ ）
与②与③与④与。
a.①②b.③④c.①③d.①④
2. 已知向量、不共线，实数、满足，则的值等于（ ）
a. b. c. d.
3. 若、、为平面上三点，为线段的中点，则（ ）
a. b.
cd. 4. 若、不共线，且，则。
5. 已知两向量、不共线，，，若与共线，则实数= .
2.1平面向量的坐标运算。
学习目标 1. 会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；
2. 能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；
3. 体会向量是处理几何问题的工具。
学习过程 一、课前准备。
复习：⑴向量是共线的两个向量，则之间的关系可表示为。
向量是同一平面内两个不共线的向量，为这个平面内任一向量，则向量可用表示为
则不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组 .
二、新课导学。
学***。
问题：已知，，能得出，，的坐标吗？
新知： 典型例题。
例1 如图，已知，，求的坐标。
小结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的减去的坐标。
变式：你能在上图中标出坐标为的点吗？标出点后，你能发现向量的坐标与点的坐标之间的联系吗？
例2 已知，，求和。
三、总结提升。
学习小结。若，，则。
4. 已知，则。
知识拓展。
通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序数对就表示一个向量。 这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对。 向量的坐标表示法将向量的加法，减法，数乘运算都统一起来，使得向量运算代数化，将数与形紧密结合起来，这样许多几何问题的解决，就可以转化为我们熟知的数量运算。
当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 若向量与向量相等，则（ ）
a. b.
c. d.
2. 已知，点的坐标为，则的坐标为（ ）
a. b.
c. d.
3. 已知，，则等于（ ）
a. b. c. d.
4. 设点，，且。
则点的坐标为 .
5. 作用于原点的两力，，为使它们平衡，则需加力。
2.3.4平面向量共线的坐标表示。
学习目标 1. 理解用坐标表示的两个向量共线条件；
2. 了解分点坐标公式的向量证法；
3. 会根据向量的坐标，判断向量是否共线。
学习过程 一、课前准备。
复习： ⑴若点、的坐标分别为，
那么向量的坐标为。
若，则。二、新课导学。
学***。
问题：我们知道，假设，其中，若共线，当且仅当存在实数，使，用坐标该如何表示这两个向量共线呢？
新知：通过运算，我们得知当且仅当时，向量共线。
典型例题。
例1 已知，，且，求。
例2 向量，，
当为何值时，三点共线。
三、总结提升。
学习小结。
1. 向量共线坐标如何表示；
2. 线段的分点坐标的计算。
知识拓展。
1.设，其中。当且仅当时，向量共线。这句话有两方面的含义，由，可判断共线；反之，若共线，则。
2.若，当时，点的坐标为。
当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 已知向量，，则与的关系是（ ）
a.不共线 b.相等 c.方向相同 d.共线
2. 已知三点共线，且，若点横坐标为，则点的纵坐标为（ ）
a. b. c. d.
3. 点关于点对称点坐标为（ ）
ab. c. d.
4. 已知，，若与平行，则的值为。
5. 已知为边上的一点，且，则分所成的比为 .
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