综合练习三。
1．设向量a，b满足：，，则 ▲
答案：2；2．在平面直角坐标系xoy中，直线与直线互相垂直的充要条件是m= ．
答案： 3．已知函数若，则实数a的取值范围是 ▲
答案： 5．设面积为s的平面四边形的第i条边的边长记为ai（i=1，2，3，4），p是该四边形内任意一点，p点到第i条边的距离记为hi，若， 则。类比上述结论，体积为v的三棱锥的第i个面的面积记为si（i=1，2，3，4），q是该三棱锥内的任意一点，q点到第i个面的距离记为hi，则相应的正确命题是：
若，则 ▲
答案： 6．在平面直角坐标系xoy中，设直线和圆相切，其中m，，若函数的零点，则k= ▲
答案：0．7．(本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分)
已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx．
1）当a＝1时，求函数f(x)的单调增区间；
2）求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值；
3）设g(x)＝(1－a)x，若存在x0∈[，e]，使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围．
8．（本小题满分16分）
已知二次函数g（x）对任意实数x都满足，且．令。
1）求 g(x)的表达式；
2）若使成立，求实数m的取值范围；
解】 （1）设，于是。
所以 又，则．所以4分。
当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为r；
当m=0时，对，恒成立6分。
当m<0时，由，列表：
8分。所以若，恒成立，则实数m的取值范围是。
故使成立，实数m的取值范围．……10分。
9. （本小题满分16分）
已知圆：交轴于两点，曲线是以为长轴，直线：为准线的椭圆．
1）求椭圆的标准方程；
2）若是直线上的任意一点，以为直径的圆与圆相交于两点，求证：直线必过定点，并求出点的坐标；
3）如图所示，若直线与椭圆交于两点，且，试求此时弦的长．
答案：9. 解：（ⅰ设椭圆的标准方程为，则：
从而：，故，所以椭圆的标准方程为。……4分。
ⅱ）设，则圆方程为与圆联立消去得的方程为。
过定点8分
ⅲ）解法一：设，则，……即。
代入①解得：（舍去正值所以，从而圆心到直线的距离，从而16分。
解法三：将与椭圆方程联立成方程组消去得：,设，则。，所以代入韦达定理得：
消去得：，，由图得。
所以，以下同解法一。
10．(本题满分16分，第1小题7分，第2小题9分)
已知圆o：x2＋y2＝4和点m(1，a)．
1）若过点m有且只有一条直线与圆o相切，求实数a的值，并求出切线方程；
2）若a＝，过点m的圆的两条弦ac、bd互相垂直，求ac＋bd的最大值．
答案：解：（1）由条件知点m在圆o上，所以1＋a2＝4．则a2分。
当a＝时，点m为(1，)，kom＝，k切线＝－，此时切线方程为y－＝－x－14分。
即x＋y－4＝0．
当a＝－时，点m为(1，－)kom＝－，k切线＝，此时切线方程为y＋＝(x－16分。
即x－y－4＝0．
所以所求的切线方程为x＋y－4＝0或x－y－4＝07分。
2）解法一：设o到直线ac、bd的距离分别为d1、d2（d1，d2≥0），则d12＋d22＝om2＝39分。
于是ac＝2，bd＝2．
所以ac＋bd＝2＋211分。
则(ac＋bd)2＝4(4－d＋4－d＋2)＝4(5＋2)
因为2d1d2≤d＋d＝3，所以dd≤，当且仅当d1＝d2＝时取等号，所以≤．
所以(ac＋bd)2≤4×(5＋2×)＝40，所以ac＋bd≤2，即ac＋bd的最大值为216分。
另解2≤(4－d)＋(4－d)＝8－(d＋d)＝8－3＝5，当且仅当d1＝d2＝时取等号．
所以(ac＋bd)2＝4(4－d12＋4－d22＋2)≤4(5＋5)＝40，所以ac＋bd≤2，即ac＋bd的最大值为2．）
解法二：当ac、bd有一条经过点o时，ac、bd有一条为4，另一条为2，ac＋bd＝69分。
当ac、bd均不过点o时，o在ac、bd的射影与o及m构成一矩形．
所以可设d1＝sinβ，d2＝cosβ．
则ac＝，bd＝．
所以ac＋bd11分。
以下参照解法一．
解法三：当ac的斜率为0或不存在时，可求得ac＋bd＝2(＋)8分。
当ac斜率存在且不为0时，设直线ac的方程为y－＝k(x－1)，直线bd的方程为y－＝－x－1)．
根据弦长公式l＝2，可得ac＝2，bd＝2．
12分。因为ac2＋bd2＝4(＋)20，所以(ac＋bd)2＝ac2＋bd2＋2ac×bd≤2(ac2＋bd2)＝40．
故ac＋bd≤2，即ac＋bd的最大值为216分。
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