练习三。
1、已知在数列和中，为数列的前项和，且，．
ⅰ）求数列和的通项公式；
ⅱ）设，求。
答案】（ⅰ故()，
解析】本试题主要是考查了通项公式与前n项和之间的关系式，以及运用递推关系求解数列的通项公式的运用和求和的运用。
1）时，两式相减得：()故()
则利用错位相减法得到，从而得到。
解：（ⅰ时，两式相减得：()故()
经检验，时上式成立，所以。
由，得：()故=+1()
经检验，时上式成立，所以。
则两式相减得：
故．2、在中，，，的对边分别为a，b，c。若a+c=20，1）求的值；（2）求b的值。
答案】（1）；（2）b=10
解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理等解三角形。注意边角互化的技巧以及解的情形讨论。
解：（1）根据正弦定理，2）由得，由余弦定理得。
解得b=8或b=10
若b=8，则a=b，又因，所以，与矛盾，所以b=10
3、已知平面平面，矩形的边长，.
ⅰ）证明：直线平面；
ⅱ）求直线和底面所成角的大小。
答案】（1）见解析；（2）.
解析】（ⅰ因为四边形是矩形。
………2分又平面………4分。
平面………5分所以直线平面………6分。
ⅱ）由条件平面平面。
平面平面过点p作，……7分又因为。
根据平面和平面垂直的性质定理得。
平面，平面………9分。
所以，直线是直线在平面内的射影。
直线和底面所成角，且………10分。
在中，因为所以。
在中， ，11分。
直线和底面所成角的大小为。……12分。
4、如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，已知，m为a1b与ab１的交点，n为棱b1c1的中点。
１）求证：mn∥平面aa１c１c
２）若ac＝aa1，求证：mn⊥平面a1bc
答案】见解析。
解析】本试题主要是考查了线面平行的证明与线面垂直的证明的综合运用。
1）线面平行的证明关键是证明线线平行，结合判定定理得到结论。
2）对于线面垂直的判定，我们可以利用线线垂直，如果一个平面内的一条直线垂直于某个平面内的任意两条相交直线，则线面垂直的定理得到。
连接，因为为与的交点，所以是的中点，又为棱的中点。所以分。
又因为平面，平面，所以∥平面6分。
因为，所以四边形是正方形，所以，又因为是直三棱柱，所以平面，因为平面，所以．
又因为，所以，因为，所以平面，所以，又平面，……8分。
因为∥，所以10分。
又，所以平面14分。
5、设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有。
1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式。
2）求数列的前n项和。
答案】（1）。。
解析】本试题主要是考查了数列的通项公式的求解和数列的求和的综合运用。
1）运用数列的前n项和与其通项公式的关系，对于n赋值进行分类得到其通项公式的求解的数学思想的运用。
2）运用结合上一问的结论，可知数列的通项公式，然后运用错位相减法得到前n项和的求解问题。
解：（1）对于任意的正整数都成立，两式相减，得， 即。
即对一切正整数都成立。
数列是等比数列---4分。
由已知得即∴首项，公比，6分。
6、如图1，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足。将△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结，.（如图2）
ⅰ）求证：⊥平面；
ⅱ）求直线与平面所成角的大小。
答案】（ⅰ证明见解析；（ⅱ
解析】(i)在平面图形中证明，即可。
2)可以采用空间向量法求解，求出平面的法向量，那么与的夹角（锐角）与所求线面角互余。
ⅰ）证明：取中点，连结。
因为，所以，而，即△是正三角形。又因为， 所以。所以在图2中有，.
所以为二面角的平面角。
又二面角为直二面角， 所以。
又因为， 所以⊥平面，即⊥平面。
ⅱ）解：由（ⅰ）可知⊥平面，，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，
在图１中，连结。因为，所以∥，且。所以四边形为平行四边形。
所以∥，且。故点的坐标为（1，，0）.图2
所以，不妨设平面的法向量，则。
即令，得。所以。
故直线与平面所成角的大小为。
7、在△abc中，三内角a、b、c及其对边a、b、c，满足，ⅰ）求角的大小（ⅱ）若=6，求△abc面积。
答案】（ⅰ解析】本试题主要是考查了解三角形的运用。利用余弦定理和正弦定理，以及三角形的面积公式得到结论。
1）由于已知中给出a,b,c的关系式，然后利用正弦定理化简得到角c的值。
2）利用余弦定理得到b的值，然后结合三角形面积公式得到结论。
解5分。ⅱ）由余弦定理得：
9分。8、在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．（求与；（ⅱ设数列满足，求的前项和．
答案】（ⅰ解析】本试题主要是考查了等差数列和等比数列的通项公式的求解和数列求和的综合运用。
1）因为等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．，利用首项和公差或者公比，表示得到结论。
2）在第一问的基础上得到前n项和，然后裂项的思想求解数列的和。
解：（ⅰ设的公差为，因为所以解得或（舍），．
故，．9、在△abc中，角a、b、c对边分别是，且满足．
1）求角a的大小；
2）求的最大值，并求取得最大值时角b、c的大小．
答案】（1）
2）最大值；
解析】本试题主要是考察了余弦定理和三角恒等变换，以及三角函数的性质的综合运用。
1）利用向量的数量积得到，结合余弦定理得到角ade zhi
2)由于∵，∴将化简为，然后借助于三角函数的性质得到最值。
解：（1）由已知2分。
由余弦定理得，∴，4分。5分。
···8分，∴，当，取最大值，解得．··10分。
10、已知点a、b、c的坐标分别为a(3,0)、b(0,3)、c(cosα,sinα)，
1）若||=求角α的值；
2）若·=-1，求的值。
答案】（1）α=2）=.
解析】本试题主要是考查了向量的数量积公式和三角函数的化简求值的综合运用。
1）由||=得sinα=cosα.然后得到角的值。
2）根据由·=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.
sinα+cosα=，化简已知关系式，得到结论。
解：（1）∵=cosα-3,sinα),cosα,sinα-3),|
由||=得sinα=cosα.又。
2）由·=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.
sinα+cosα=.
又=2sinαcosα.
由①式两边平方，得1+2sinαcosα=,2sinαcosα=.
11、如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面，点是的中点．
求证：平面；
求证：平面平面；
若，求三棱锥的体积．
答案】⑴见解析； ⑵见解析；⑶．
解析】本试题主要是考查了立体几何中线面的平行的证明以及面面垂直的郑敏而后三棱锥体积的运算的综合运用。
要证明平面；只要证明线线平行即可，运用判定定理得得到结论。
要证平面平面；先通过线面垂直的证明，结合面面垂直的判定定理得到面面垂直。
因为，那么三棱锥的体积利用转换顶点法来表示可得．
设交于，连结．
因为为正方形，所以为中点，又因为为的中点，所以为的中位线，所以， …3分。
又因为平面，平面，所以平面．……5分。
因为为正方形，所以， 因为平面，平面，所以，又，所以平面．……8分。
因为平面，所以平面平面10分。
14分。12、中内角的对边分别为，向量且（1）求锐角的大小；（2）如果，求的面积的最大值。
答案】解：（1）
2）（当且仅当时等号成立。）
解析】本试题主要是考查了向量的共线以及三角函数中的二倍角公式的运用，以及余弦定理和三角形面积公式的求解的综合运用。
1）因为向量平行，可知。
然后利用二倍角公式化简可知角b的值。
2）由余弦定理得结合上一问的结论可知，结合均值不等式求得最值。
解：（1）即。
又为锐角 2）由余弦定理得。
即。又代入上式得（当且仅当时等号成立）
当且仅当时等号成立。）
13、已知为等比数列，为等差数列的前n项和，1）求的通项公式；
2）设，求。
答案】（1）（2）
解析】(i)由可求出公比q,然后可以直接写出通项公式。
由可建立关于b1和d的方程，写出其通项公式。
2）由于是由一个等差数列和一个等比数列积的形式，所以应采用错位相减的方法求和。
ⅰ），3分） ．6分）
-②得：（9分）
整理得：（12分）
14、在⊿中，角的对边分别为，且。
ⅰ)求的值；
ⅱ)若，且，求的值。
答案】(ⅰ解析】本试题主要是考查了正弦定理的运用以及向量的数量积公式和余弦定理的综合运用。
1）：由正弦定理得，化边为角，然后利用两角和的三角公式得到结论。
2）由，结合余弦定理得到的值。
解：(ⅰ解：由正弦定理得，因此………5分。
ⅱ)解：由，所以………10分。
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