吕叔湘中学高三（理科）综合试卷。
一、填空题：
1、若复数z满足（是虚数单位），则z= ▲
答案：1+2i
2、设全集z，集合，则 ▲ 用列举法表示）.
答案：3、在平面直角坐标系中，已知向量a = 1，2)， 3，1)，则 ▲
答案：04已知，则 ．
5、设p是函数图象上异于原点的动点，且该图象在点p处的切线的倾斜角为，则的取值范围是 ▲
答案： 6、如图，矩形abcd的三个顶点a、b、c分别在函数，的图象上，且矩形。
的边分别平行于两坐标轴。 若点a的纵坐标为2，则。
点d的坐标为 ▲
答案： 7、．数列满足，是的前项和，则 _
8．已知函数的图像过点，则此函数的最小值是 __
9、．在中，，是内一点，且满足，则= ▲3）
10、若对任意的都成立，则的最小值为 ▲
答案： 11、设满足约束条件，若目标函数的最大值为35,则的最小值为解析】可行域如图所示，过得到最大值，即。
所以。12、已知定义在上的函数和满足，，．令，则使数列的前项和超过的最小自然数的值为。
解题**：本题主要考查函数与导数以及等比数列的定义、通项公式与前项和公式等基础知识，考查运算能力以及灵活地运用所学知识分析问题、解决问题的能力．求解本题，关键在于根据题设条件求出的值，从而得到数列的通项公式．
解析：∵，且，∴，从而有，又，知为减函数，于是得，，由于，故得使数列的前项和超过的最小自然数．
二、解答题：
13、在斜三角形中，角a，b，c的对边分别为 a，b，c.
1）若，求的值；
2）若，求的值。
解：（1）由正弦定理，得．
从而可化为． …3分。
由余弦定理，得．
整理得，即7分。
（2）在斜三角形中，所以可化为，即10分。
故．整理，得， …12分。
因为△abc是斜三角形，所以sinacosacosc，所以14分。
14、如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为o，通过细绳悬挂在天。
花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离为2m，在圆。
环上设置三个等分点a1，a2，a3。点c为上一点（不包含端点o、b），同时点c与点a1，a2，a3，b均用细绳相连接，且细绳ca1，ca2，ca3
的长度相等。设细绳的总长为。
1）设∠ca1o = rad)，将y表示成θ的函数关系式；
2）请你设计，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并。
指明此时 bc应为多长。
ⅰ）解：在△coa1中，2分。
）……7分。
令，则12分。
当时，；时，在上是增函数。
当角满足时，y最小，最小为；此时bcm …16分。
15、已知，数列有（常数），对任意的正整数，并有满足。
1）求的值；（2）试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；（3）令，是否存在正整数m，使不等式恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由。
解：（1）由已知，得， ∴
（2）由得则，，即，于是有，并且有，即，而是正整数，则对任意都有，数列是等差数列，其通项公式是。
由是正整数可得，故存在最小的正整数m=3，使不等式恒成立。
16、已知．
1) 求函数在上的最小值；
2) 对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
3) 证明：对一切，都有成立．
解题**：本题是一道函数、导数与不等式证明的综合题，主要考查导数的几何意义、导数的求法以及导数在研究函数的性质和证明不等式等方面的应用，考查等价转化、分类讨论等数学思想方法以及分析问题与解决问题的能力．试题设计了由易到难的三个层次，有计算，有推理，有证明，具有很好的梯度和区分度．对于第（1）问，只要运用导数的方法法研究出函数的单调性即可，最值就容易确定了；对于第（2）问，是一个不等式恒成立的问题，可通过分离常数，将其转化为求函数的最值问题来处理；对于第（3）问，可以通过构造函数，利用导数研究其函数值的正负来实现不等式的证明．
解析： (1) ，当，，单调递减，当，，单调递增2分）
，t无解；
，即时，；
，即时，在上单调递增，；
所以6分）2) ，则8分）
设，则，，，单调递减，，，单调递增，所以． （10分）
因为对一切，恒成立，所以． （12分）
3） 问题等价于证明，由⑴可知的。
最小值是，当且仅当时取到14分）
设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立16分）
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