1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度？
解：前轴或后轴垂直振动的振动模型简图为图1.2所示，此时汽车振动简化为二自由度振动系统。
为非悬架质量，为悬架质量。
1. 3设有两个刚度分别为的线性弹簧如图t-1.3所示，试证明：1）它们并联时的总刚度为：
2）它们串联时的总刚度为：
证明：1) 如图t-1.3(a)所示，两个弹簧受到力的作用，变形相同，即， 而，故有， 从而
2）如图t-1.3(b)所示，两个弹簧受到相同的力作用。
即1且2）由（1）和（2）有： （3） 由（3）得。
1.8证明：两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动，即。
并讨论=0，三种特例。
证明：因 从而有 令。则
令c=，则有。
当=0时，c=a+b；当=时，， 当=时，，
1.13汽车悬架减振器机械式常规性能试验台，其结构形式之一如图t-1.13所示。
其激振器为曲柄滑块机构，在导轨下面垂向连接被试减振器。试分析减振器试验力学的基本规律（位移，速度，加速度，阻尼力）。
解。2.1弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ，设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设静平衡位置为原点，向下坐标为正方向，则系统的微分方程为。
由题意知，，且由，得，从而。
设方程的解为，由初始条件有。
2.2弹簧不受力时长度为65cm,下端挂上1kg物体后，弹簧长85cm。设用手拖住物体使弹簧回到原长后，无初速度地释放，试求物体的运动方程，振幅，周期及弹簧力的最大值。
解：由题意有，，得，，因δ=0.2 (m) ,g=9.8 (m/)，故。
以平衡位置为原点，向下为正，可得运动微分方程和初始条件如下：
故运动方程为，振幅：0.2m, 周期：
弹簧力的最大值：（
2.3重物悬挂在刚度为的弹簧上，并处于静平衡位置，另一重物从高度为h处自由落到上无弹跳，如图t-2.3所示，求其后的运动。
解：根据题意，取m=+所处的平衡位置为原点，向下为正，得系统运动的微分方程为：
解得=2.6求如图t-2.6所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且，。
解：等效刚度=，由=，故系统的周期为。
2.9求如图t-2.9所示系统微幅扭振的周期。
图中两个摩擦轮可分别绕水平轴，转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置（半径a与b在同一水平线上），弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为，。
解：坐标原点取为静平衡位置，故可不计重力势能，a盘转动θ角，则b盘转动。
a盘的惯性矩， b盘的惯性矩(,分别为a盘和b盘的单位面积的质量。)
因，，故，系统的势能为。
动能为。故由，得，2.14一台电机重470n，转速为1430 r/min,固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点，如图t-2.
14所示。每根槽钢长1.2m, 重65.
28n, 弯曲刚度为ei=1.66×
a)不考虑槽钢质量，求系统的固有频率。
b)设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率。
c)计算说明如何避开电机和系统的共振区。
解：a) 不考虑槽钢质量，每一根槽钢中点的静绕度为：
从而每一根槽钢的刚度为：，得。
b) 考虑槽钢质量分布对系统动能的影响，不考虑它对静绕度的影响。（分布载荷的静变形曲线为）
设梁的振动速度分布为，v(t)为梁中点的速度，故整段梁的动能为=
故每一根槽钢的等效质量为。
此时。c)电机的激励频率ω=1430=149.926（rad/s）故激励频率远离系统的共振区。
2.15一质量m固定于长l，弯曲刚度为ei，密度为ρ的弹性梁的一端，如图t-2.15所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。
解：梁的自由端的绕度为，则等效刚度为
而其静变形曲线为 (由及求积分得到)
从而可假设，， 即梁系统的动能为。
从而梁的等效质量为；
系统的固有频率可近似为。
2.19试证明：对数衰减率也可用下式表示 （式中是经过n个循环后的振幅）。
并给出在阻尼比ξ为0.01，0.1，0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。
证明：因，
故，，，故。
为0.01，0.1，0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数分别为12. ,2. ,1。(这里设ω，从而，由近似计算）
2.24试指出在简谐激励下系统的复频率响应，放大因子和品质因子之间的关系，并计算当ξ=0.2， =5rad/s时系统的品质因子和带宽。
解：简谐激励下，系统复频率响应为：
放大因子，品质因子
在小阻尼时，当频率比时，放大因子达到最大值，而为q，即，ξ=0.2， =5rad/s时，
2.29若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比，即求其等效阻尼系数和共振时的振幅。
解：粘性阻尼力在一个周期内做的功为=
这里设)，而上述一周内所做的功为： =
令，原式=由，故有。
其简谐强迫振动方程为：
设，故有。当在共振时，可设，则有，
故 x=2.33如图t-2.33所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。试求w的振幅与行进速度的关系，并确定最不利的行进速度。
解：路面的不平度可表示为：
汽车沿路面走，由于路面的不平度引起汽车垂直方向的振动，其运动微分方程为：
则有。系统的稳态响应为：
故汽车的振幅为：
最不利的行进速度为
2.36试从式（2.95）（ 即 ）
证明：1).无论阻尼比ξ取何值，在频率比=时，恒有。
2).在＜，x/a随ξ增大而减小，而在＞，随ξ增大而增大。
证明：1). 因，
故当=时， 所以，，故无论阻尼比ξ取何值恒有。
2). 因。
故当＜时，＜0，从而随ξ增大而减小。
而当＞时，＞0，故随ξ增大而增大。
2.40求单自由度无阻尼系统对图t-2.40所示激励的响应，设初始条件为零。
解：利用杜哈梅积分。
当0≤t≤时，x(t)=
t≤时，x(t) =
t＞时，x(t) =
0≤t≤时， x(t)=
t>时，x(t)=
0≤t≤时，x(t)=
t>时，x(t)=
2.43一个高，宽的矩形脉冲力加到单自由度无阻尼系统上，把这个矩形脉冲力看做两个阶跃脉冲力之和，如图t-2.43所示，用叠加原理求t>后的响应。
解：设。则由叠加原理可得，时，x(t) =
2.45证明式（2.136），即卷积积分满**换律。
证明：因=令， 故=
再令， 上式===
3.1如图t-3.1所示的扭振系统，设。
1).写出系统的刚度矩阵和质量矩阵。
2).写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。
解：设为的转角。
1). 系统的动能和势能可以表示为：，
求导可得，，
2). 由，可得频率方程如下：
求解得，，，
其振型图如下： ，
3.2求图t-3.2所示系统的固有频率和振型，设，并画出振型图。
解：采用牛顿第二定律可建立系统的无载荷运动方程如下：
从而， 系统特征方程为：
由以及，有，振型分别为：，
其振型图如下：
3.4如图t-3.4所示，由一弹簧连接两个质量构成的系统以速度撞击制动器，求其传到基础上力的最大值。设为常数，且弹簧无初始变形，并设。
解：由题意知，主要了解由构成的振动系统，在撞击一瞬间的初始条件下，系统的响应情况。
系统的运动微分方程可表示为：（坐标原点为系统弹簧无变形时的的位置）
系统初始条件为：，求解系统频率方程得，
其相应振型分别为： 令。则有。
由此可得，及。
求解上述两方程得。
故。故弹簧的受力为 ，最大值不超过。
3.7如图t-3.7所示，由弹簧耦合的双摆，杆长为，1).写出系统的刚度矩阵，质量矩阵和频率方程。
2).求出固有频率和振型。
3).讨论k值改变对固有频率的影响。
解：1).建立二个独立坐标。
系统的动能为：
系统的势能为：
由可得， 因很小，故可得，，
其频率方程为：
相应振型分别为：
3) .当k变化时，没有变化，产生变化。
当k变小时，将变小，且与接近。
当k变大时，将变大，且与间距变大。
4.1按定义求如图t-4.1所示三自由度弹簧质量系统的刚度矩阵，并用能量法检验。
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目录。盘轴扭振系统固有频率和主振型的计算 2 一 模型分析 2 二 已知条件 2 三 矩阵迭代法 2 1.方法描述 2 2.计算程序 附录i 3 3.结果表述 3 四 传递矩阵法 4 1.方法描述 4 2.计算程序 附录ii 6 3.结果表述 6 五 附录 7 该系统为非约束性盘轴扭振系统，并有以下...