机械振动作业

1、method description：

1)系统主振型方程可表示为，引入动力矩阵。首先任意选取一个经过归一化的假设阵型，用动力矩阵前乘它，并对通过乘法运算新得到的阵型矢量进行归一化，则得：，式中为新振型矢量归一化后的系数。

2)如果，就再从开始，重复上述步骤得：，式中为新振型矢量归一化后的系数。

3)如果，则继续重复上述步骤，进过k次矩阵乘法运算后，得到，在规定的有效位数内，发现时停止运算，此时的即为系统第一阶主振型的近似值，即：，而这时的系数即是系统第一阶固有频率平方倒数的近似值，也就是：。

该方法的精确度不依赖于假设阵型，假设阵型的好坏只影响迭代的次数。即使假设的固有频率域一阶主振型相差很远，经过充分的迭代运算，仍可求得足够精确的基频值。

我们求得第一阶主振型以后，可以利用主振型的正交性来清楚掉假设阵型中的分量，然后再进行迭代求解可以是结果收敛于第二阶主振型。同理，如果我们在假设阵型中清除掉所有前s阶这阵型分量，那么迭代的结果将得到第s+1阶固有频率及主振型。引进清型矩阵：。

由于实际计算中舍入误差的存在，经过一次迭代后，所得的主振型中还包含前面几阶的主振型分量，因此每次计算前都要进行清型才能保证最后收敛的主振型。

2、programs:

clcclear

n=8;d1=0.4;

d2=0.04;

a=0.1;

den=7800;

g=7.69e+10;

h=0.02;

j1=0.5*pi*den*h*(d1/2)^4;

ip=pi*d2^4/32;

k=g*ip/a;

k1=k;k2=k;

k3=k;k4=k;

k5=k;k6=k;

k7=k/5;

k8=k;j2=j1;

j3=j1;

j4=j1;

j5=j1;

j6=j1;

j7=j1;

j8=j1;

j=diag([j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7,j8]);

k=[k2,-k2,0,0,0,0,0,0;-k2,k2+k3,-k3,0,0,0,0,0;0,-k3,k3+k4,-k4,0,0,0,0;0,0,-k4,k4+k5,-k5,0,0,0;0,0,0,-k5,k5+k6,-k6,0,0;0,0,0,0,-k6,k6+k7,-k7,0;0,0,0,0,0,-k7,k7+k8,-k8;0,0,0,0,0,0,-k8,k8;];

d=inv(j)*k;

for j=1:n

a=[0 1 0 0 1 1 0 1]';

if j>1

d=d*(eye(n)-(b*b'*j)/(b'*j*b));

endfor i=1:1000

b=d*a;

a=b(n);

b=b/a;

if max(abs(b-a))<0.000001

breakend

a=b;end

om1=sqrt(a);

i;nm(:,j)=b;

om(:,j)=om1;

x=[0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1.1 1.2 1.3]';

y=[0;b;0];

plot(x,y,'-

hold on

endgrid onnmom

f=om/6.28;

3、calculation result

主振型。nm =

固有频率（单位rad/s）

om =1.0e+003 *

单位：hzf =

图1 矩阵迭代法主振型。

1、method description：

对于盘轴扭振系统，可以将该整体系统分割成结构形式相同的单元，即一段轴连接一个圆盘，将盘视为刚性质量元件、轴段视为柔性无质量元件，每个单元的扭转运动取决于轴段梁福安的转角和扭矩，只有这两个主要因素，因此取各元件的转角和扭矩作为状态变量，表示为，对整个盘轴扭振系统可以理解为状态变量是通过各个单元从系统的左侧传递到系统的右侧，我们通过对一个单元进行分析，得出各个单元的传递矩阵，进而可以求出整个系统的传递矩阵，然后再根据边界条件就可以求得关于的方程，由于方程过于复杂，我们可以将该表达式的图形作出来，找出使该表达式为0的点，该点即是我们要求的值，从而求出该系统的各阶固有频率。

取单元中的第i个单元来来进行分析：

1）：对刚性质量元件盘进行分析可得：，写成矩阵的形式为：

该矩阵称为点传递矩阵。

2）：对柔性无质量元件轴进行分析可得：，写成矩阵的形式为：

该矩阵称为场传递矩阵。

于是得到第i单元两端状态的传递矩阵（从第i-1个盘右侧到第i个盘右侧）

该矩阵为单元传递矩阵。

对于有n个盘的轴系，将各个单元的单元传递矩阵反顺序连乘就可得到整个系统两端状态的矩阵形式：,即：

再根据轴系两边的边界条件，在该系统中，可以得到关于的方程，对该关系式作图求出与x轴的交点就可以得到系统的固有频率。

2、programs:

clcclear

n=8;d1=0.4;

d2=0.04;

a=0.1;

den=7800;

g=7.69e+10;

h=0.02;

j1=0.5*pi*den*h*(d1/2)^4;

ip=pi*d2^4/32;

k=g*ip/a;

k1=k;k2=k;

k3=k;k4=k;

k5=k;k6=k;

k7=k/5;

k8=k;j2=j1;

j3=j1;

j4=j1;

j5=j1;

j6=j1;

j7=j1;

j8=j1;

m=diag([j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7,j8])

k=[k2,-k2,0,0,0,0,0,0;-k2,k2+k3,-k3,0,0,0,0,0;0,-k3,k3+k4,-k4,0,0,0,0;0,0,-k4,k4+k5,-k5,0,0,0;0,0,0,-k5,k5+k6,-k6,0,0;0,0,0,0,-k6,k6+k7,-k7,0;0,0,0,0,0,-k7,k7+k8,-k8;0,0,0,0,0,0,-k8,k8;]

d=inv(m)*k;

a lam]=eig(d);

for i=1:n

omt(i)=sqrt(abs(lam(i,i)))

endomt

f=omt/6.28

atransfer matrix method for natural frequencies

mn=1;t21=0;

step=0.1;

j=[j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7,j8];

k=[k1 k2 k3 k4 k5 k6 k7 k8];

for i=1:100000

om=(i-1)*step;

tp=eye(2);

for j=1:n

t=[1 1/k(j);-j(j)*om^2 1-j(j)*om^2/k(j)]*tp;

tp=t;end

if t(2,1)==0

omega(mn)=om;

mn=mn+1;

endif t(2,1)*t21<0

omega(mn)=om-step*abs(t(2,1))/abs(t21)+abs(t(2,1)))

mn=mn+1;

endt21=t(2,1);

x(i)=om;

y(i)=t(2,1);

z(i)=0;

if mn>n

breakend

endomega;

for i=1:n

a=[1 0]';

om=omega(i);

for j=1:n

b=[1 1/k(j);-j(j)*om^2 1-j(j)*om^2/k(j)]*a;

mm(j,i)=b(1);

a=b;endendmm

mmf=[0 0 0 0 0 0 0 0;mm];

x=[0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1.1 1.2 ];

z=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 ];

plot(x,mmf)

hold on

plot(x,z)

grid on

3、calculation results:

固有频率（单位rad/s）：

omt =1.0e+003 *

单位：hzf =

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