10函数图象

函数突破10.函数图象。

例1：对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称；(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和。

1)证明：设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点，则y0=f(x0),又f(a+x)=f(a－x),∴f(2a－x0)=

f［a+(a－x0)］=f［a－(a－x0)］=f(x0)=y0,∴(2a－x0,y0)也在函数的图象上，而=a,∴点(x0,y0)与(2a－x0,y0)关于直线x=a对称，故y=f(x)的图象关于x=a对称。

2）y=f(x)关于x=2对称，若x0是f(x)=0的根，则4－x0也是f(x)=0的根，由对称性，f(x)=0的四根之和为8.

练习：已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，求b的范围。

法一：f(x)图象过（0，0）和(1，0)，f(0)=0,得d=0,，f(1)=a+b+c①,又有f(－1)＜0,即－a+b－c＜0②,①得b＜0,法二：f(0)=0有三根，∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax3－3ax2+2ax,∴b=－3a,∵a>0,∴b＜0.

例2：如图点a、b、c都在函数y=的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2.又a、b、c在x轴上的射影分别是a′、b′、c′,记△ab′c的面积为f(a),△a′bc′的面积为g(a).

1)求函数f(a)和g(a)的表达式；

2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论。

解：(1)连结aa′、bb′、cc′,则。

f(a)=s△ab′c=s梯形aa′c′c－s△aa′b′－s△cc′b = g(a)=s△a′bc′=a′c′·b′b=.

课后强化：1.当a≠0时，y=ax+b和y=bax的图象只可能是( a )

2.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是(d)

3.已知f(x)=log2(x+1)，将y=f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数f(x)=f(x)－g(x)的最大值为_.

解：g(x)=2log2(x+2)(x>－2)

f(x)≤=2当且仅当x+1=,即x=0时取等。∴f(x)max=f(0)=－2.

4.如图在y=lgx的图象上有a、b、c三点，它们的横坐标分别为m,m+2,m+4(m>1).(1)若△abc面积为s，求s=f(m);(2)判断s=f(m)的增减性。

解(1)s△abc=saa′b′b+sbb′c′c－s梯形aa′c′c.

2)s=f(m)为减函数。

5.如图函数y=|x|在x∈［－1,1］的图象上有两点a、b，ab∥ox轴，点m(1，m)(m∈r且m>)是△abc的bc边的中点。(1)写出用b点横坐标t表示△abc面积s的函数解析式s=f(t);(2)求函数s=f(t)的最大值，并求出相应的c点坐标。

解：(1)设b(t, t),a(－t, t)(t>0),c(x0,y0).

m是bc的中点。∴=1, =m.

x0=2－t,y0=2m－t.在△abc中，|ab|=2t,ab边上的高hab=y0－t=2m－3t.

s=|ab|·hab=·2t·(2m－3t),即f(t)=－3t2+2mt,t∈(0,1).

(2)∵s=－3t2+2mt=－3(t－)2+,t∈(0,1,若，即＜m≤3,当t=时，smax=,相应的c点坐标是(2－, m),若》1,即m>在(0，1］上是增函数，∴smax=f(1)=2m－3,c点坐标(1，2m－3).

6.已知函数f(x)是y=－1(x∈r)的反函数，函数g(x)的图象与函数y=－的图象关于y轴对称，设f(x)=f(x)+g(x).

1)求函数f(x)的解析式及定义域；

2)试问在函数f(x)的图象上是否存在两个不同的点a、b，使直线ab恰好与y轴垂直？若存在，求出a、b的坐标；若不存在，说明理由。

解(1)f(x)=lg (－1＜x＜

f(x)=lg+,定义域为(－1，1).

2)用定义可证明函数u==－1+是(－1，1）上的减函数，且y=lgu是增函数。∴f(x)是(－1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点a、b.

7.已知函数f1(x)=,f2(x)=x+2,1)y=f(x)=，试画出y=f(x)的图象并求y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积；

2)若方程f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根，求实数a的范围。(3)若f1(x)>f2(x－b)的解集为［－1，］，求b值。

解：(1）y=f(x)=.图略。

y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积为(2+)π

2)a的取值范围：2－＜a≤1.

3)若f1(x)>f2(x－b)的解集为［－1，］，得b=.

8.设函数f(x)=x+的图象为c1，c1关于点a(2，1)对称的图象为c2，c2对应的函数为g(x).

1)求g(x)的解析表达式；(2)若直线y=b与c2只有一个交点，求b的值，并求出交点坐标；

3)解不等式logag(x)解(1)g(x)=x－2+.(2)b=4时，交点为(5，4)；b=0时，交点为(3，0).(3)不等式的解集为{x|4＜x＜或x>6.