1．平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上两点，所成的曲线可以是圆，椭圆或双曲线．
i）求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系．
ⅱ)当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，若曲线的斜率为的切线与曲线相交于两点，且（为坐标原点），求曲线的方程．
2．已知函数，其中。
(ⅰ)求函数的极小值点；
ⅱ）若曲线在点处的切线都与轴垂直，问是否存在常数，使函数在区间上存在零点？如果存在，求的值：如果不存在，请说明理由。
1．解：（i）设动点为m，其坐标为，当时，由条件可得，即，又的坐标满足，故依题意，曲线的方程为．
当曲线的方程为，是焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线的方程为，是圆心在原点，半径为2的圆；
当时，曲线的方程为，是焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线的方程为，是焦点在轴上的双曲线．
ⅱ）曲线；，：设圆的斜率为的切线和椭圆交于a（x1，y1），b（x2，y2）两点，令直线ab的方程为，① 将其代入椭圆的方程并整理得。
由韦达定理得。
因为 ， 所以。
将①代入③并整理得
联立②得。因为直线ab和圆相切， 因此，， 由④得。
所以曲线的方程，即．
2．解：(ⅰ
令得到。 1) 当时，在定义域单调递增，没有极小值点。
2)当时，当变化时，的变化情况如下表：
所以是函数的极大值点。 是函数的极小值点。
3) 当时，的变化情况如下表：
所以是函数的极大值点。 是函数的极小值点。
综合上述。当时， 是函数的极小值点。 当时，是函数的极小值点。
ⅱ）若曲线上有两点，处的切线都与轴垂直，则，由（ⅰ）的讨论知，或，.
若函数在区间上存在零点，且单调，所以。
即。所以。故。
下面证明此不等式不成立。
令，则，于是当，所以，在单调递增，在单调递减，所以函数在取得最大值。
所以，所以。故不存在满足要求的常数。
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