线性代数部分第1章行列式——第二章矩阵）
一）填空题。
1.设矩阵，则的元素。
解：的元素表示矩阵中第2行与第3列交叉的元素，即=3。
2.设均为3阶矩阵，且，则=.
解：因为若是阶方阵，是数，则，因此=
3. 设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是。
解：因为。的充分必要条件是=
4. 设均为阶矩阵，可逆，则矩阵的解。
解：因为：，则，
5. 设矩阵，则。
求逆矩阵的初等行变化法：
二）单项选择题。
1. 以下结论或等式正确的是。
a．若均为零矩阵，则有。
b．若，且，则。
c．对角矩阵是对称矩阵。
d．若，则。
解：a不正确。
零矩阵：所有的元素均为零的矩阵。
例如：， b不正确。矩阵乘法的消去律不成立。
例如：设，，
有，但。c正确。 对称矩阵：若矩阵，有，则称矩阵为对称矩阵。
设n阶对角矩阵，显然有，因此矩阵为对称矩阵。
d不正确。 例如：设，,有
该题正确的选项为c.
2. 设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则为（ ）矩阵。
ab． cd．
解：矩阵乘法定义：,要求左边矩阵的列数与右边矩阵的行数相等，而且结果ab仍然是一个矩阵，其行数等于左边矩阵a的行数，其列数等于右边矩阵b的列数。
为，要有意义，则矩阵的行数=矩阵a的列数4；为矩阵，则为矩阵，要有意义，则矩阵的列数=矩阵的行数2,故是一个矩阵，是一个矩阵。
该题正确的选项为a.
3. 设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是。
a．， b．
cd． 解：a都是错误的。
例如：设，，容易验证矩阵均可逆，但不可逆，显然。
是错误的。b是错误的。
逆矩阵的性质：
c是正确的。=
d是错误的。矩阵的乘法一般不满**换律。
该题正确的选项为c.
4. 下列矩阵可逆的是。
ab． cd．
解：矩阵a可逆的方法：（1）；
2）矩阵a是满秩矩阵。
a是正确的。因为矩阵是阶梯形矩阵且为满秩矩阵。或。
b是错误的。，矩阵的秩为2，不是满秩矩阵，故不可逆。
c,d都是错误的。矩阵的秩都为1，不是满秩矩阵，故不可逆。
该题正确的选项为a.
5. 矩阵的秩是。
a．0 b．1 c．2 d．3
解： 该题正确的选项为c.
三、解答题。1．计算。
解：原式==
解：原式=
解：原式=2．计算。
解：原式= =
3．设矩阵，求。
解： 所以=0
4．设矩阵，确定的值，使最小。
解： 当时， =2为最小。
5．求矩阵的秩。解：
6．求下列矩阵的逆矩阵：
解： 2）a =．求。
解： 下面利用初等行变化法求的逆：
7．设矩阵，求解矩阵方程．
解：因为则。
四、证明题。
1．试证：若都与可交换，则，也与可交换。
证明：因为，则结合矩阵运算的分配律有：
又利用矩阵运算的结合律有：
因此，都与可交换。
2．试证：对于任意方阵，，是对称矩阵。
证明：3．设均为阶对称矩阵，则是对称矩阵的充分必要条件是：。
证明：必要性：
因为，为对称矩阵，则。
充分性：因为，，则。
即是对称矩阵。
4．设为阶对称矩阵，为阶可逆矩阵，且，证明是对称矩阵。
证明：因为，为阶可逆矩阵，且，则
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