一、單選題 (1題每題10分共10分)
）1.如圖﹐abcd是一個矩形﹐已知的斜率為1﹐若點(x,y)為矩形abcd內（含邊界）一點﹐求x 2y的最大值為何﹖ (1)x1 2y1 (2)x2 2y2 (3)x3 2y3 (4)x4 2y4﹒課堂講義】
[, 如圖所示﹐
作x 2y 0的直線﹐將之平行向右移動﹐得其在a點時有最大值﹒故最大值為x1 2y1﹒
二、填充題 (每題10分共90分)
1.已知x﹐y滿足﹐求2x y 1之(1)最大值為2)最小值為。課本類題】
[, 如圖﹐
故2x y 1之最大值為7﹐最小值為1﹒
2.描繪x 0﹐y 0﹐x 2y 6 0﹐3x 4y 28 0之圖形﹐此圖形所圍區域之面積為。課本類題】
[, 如圖﹐
面積 △oab面積 △obc面積 6 1 7 8 31﹒
3.圖示二元一次聯立不等式﹐並求此區域內共有個格子點﹒課本類題】
[, 如圖﹐
當x 0﹐有(0 , 2)﹐(0 , 3)﹐(0 , 4)﹐(0 , 5)﹐(0 , 6)﹐5個格子點﹐
當x 1﹐有(1 , 1)﹐(1 , 2)﹐(1 , 3)﹐(1 , 4)﹐4個格子點﹐
當x 2﹐有(2 , 0)﹐(2 , 1)﹐(2 , 2)﹐(2 , 3)﹐4個格子點﹐
當x 3﹐有(3 , 0)﹐(3 , 1)﹐2個格子點﹐
當x 4﹐有(4 , 0)﹐1個格子點﹐
綜合以上﹐共有5 4 4 2 1 16個格子點﹒
4.某公司擁有a﹑b兩座在不同地區的倉庫﹐a倉庫存貨48公噸﹐b倉庫存貨60公噸﹒今公司接獲甲地客戶訂貨36公噸﹐同時接獲乙地客戶訂貨44公噸﹒而由a倉庫運至甲地每公噸運費400元﹐運至乙地每公噸運費500元；由b倉庫運至甲地每公噸運費600元﹐運至乙地每公噸運費650元﹐則此公司運費最低為元﹒課本類題】
[, 設由a倉庫運至甲x公噸﹐運至乙y公噸﹐
由b倉庫運至甲(36 x)公噸﹐運至乙(44 y)公噸﹐
可得不等式組﹐
目標求400x 500y 600(36 x) 650(44 y) 200x 150y 50200之最小值﹐如圖﹐
故a運至甲36公噸﹐b運至甲0公噸﹐a運至乙12公噸﹐b運至乙32公噸﹐能使運費最低為41200元﹒
5.設a ( 1 , 2)﹐b (4 , 3)且直線y mx 3與相交﹐試求m之範圍為。
龍騰自命題】
[, 或m 5
[, 因為與直線f (x , y) mx y 3 0相交﹐則a與b不在直線f (x , y) 0之同側。
f ( 1 , 2) f (4 , 3) 0 ( m 2 3) (4m 3 3) 0
(m 5)(2m 3) 0﹐
故或m 5﹒
6.坐標平面上﹐設a (2 , 7)﹐b (6 , 5)﹐c (8 , 1)﹐d ( 1 , 2)﹐若p (x , y)位於四邊形abcd區域﹐求。
1)的最大值為2)的最小值為。
龍騰自命題】
[, 1)(2)表(x , y)與( 3 , 1)之斜率﹐
故的最大值為﹐的最小值為﹒
7.設x﹐y皆為實數﹐且x y 2 0﹐x y 4 0﹐x 7y 28 0﹐求。
1)x2 y2的最大值為2)x2 y2的最小值為。
龍騰自命題】
2)﹐表(x , y)到(0 , 0)的距離平方﹐
將(x , y) (7 , 5)代入x2 y2﹐得x2 y2之最大值為72 52 74﹒
3)x2 y2的最小值為﹒
8.某工廠生產a與b兩種產品﹐其總產能為每年2萬公斤﹒假設生產a的成本為每公斤10美元﹐生產b的成本為每公斤5美元﹐而今年工廠可用資金為15萬美元﹐若a的淨利為每公斤30美元﹐b的淨利為每公斤20美元﹐試問最大利潤為萬美元﹒
龍騰自命題】
[, 設a今年生產x公斤﹐b生產y公斤﹐
則﹐作圖如下﹐
目標﹕求30x 20y (10x 5y) 20x 15y的最大值﹐
故最大利潤為35萬美元﹒
9.某工廠用a﹑b﹑c三種不同的原料調製兩種產品﹐第一種產品a﹑b﹑c三種原料各占﹐﹐﹐第二種產品a﹑b﹑c三種原料各占﹐﹐﹔若現有a原料6公噸﹐b原料5公噸﹐c原料7公噸﹐而第一種產品的售價為每公噸5000元﹐第二種產品的售價為每公噸4000元﹐而且銷售也沒有問題﹐則第一種產品生產公噸﹐第二種產品生產公噸時﹐可獲得最高的收入﹐則。
龍騰自命題】
[, 作圖如下﹐
最高收入f5000 4000 ﹐
故﹒三、計算題 (2小題每小題10分共20分)
1.設一線性規劃的可行解區域為如圖所示之正六邊形內部（含邊界）﹐而目標函數為y ax﹒若已知a點為此目標函數取得最大值之唯一的點﹐試求a之範圍﹒
新突破講義】
[, 令y ax k表示a為直線斜率﹐又﹐
由於a點為此目標函數取得最大值之唯一的點。
故其斜率必滿足﹒
2.欲將兩種大小不同的鋼板截成a﹐b﹐c三種規格﹐各種鋼板可截得這三種規格的件數如下表所示﹕若欲得a﹐b﹐c三種規格的成品各15﹐18﹐27件﹐問這兩種鋼板各多少片可使需用到的鋼板總數最少﹖
課堂講義】 第一種鋼板用4片﹐第二種鋼板用8片﹐或第一種鋼板用3片﹐第二種鋼板用9片。
[, 設第一種鋼板用x片﹐第二種鋼板用y片﹐其使用鋼板總片數為p x y（片）﹒
依題意列式得﹕ 其中x﹐y均為整數﹒
此聯立不等式的解如下圖所示﹕
將(0,15)﹐﹐27,0)代入p x y﹐所得對應的值如下表﹕
由上表可知最佳解為﹐因此找其鄰近的格子點(3,9)﹐(4,8)﹐(5,8)﹐(6,7)﹐
再代入下表得。
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