初中数学竞赛辅导资料（36）
三点共线。甲内容提要。
1. 要证明a，b，c三点在同一直线上， a。 b。 c
常用方法有：①连结ab，bc证明∠abc是平角。
②连结ab，ac证明ab，ac重合。
③连结ab，bc，ac证明 ab＋bc＝ac
④连结并延长ab证明延长线经过点c
2. 证明三点共线常用的定理有：
1 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。
2 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。
3 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。
4 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半。
5 两圆相切，切点在连心线上。
6 轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上。
乙例题。例1.已知：梯形abcd中，ab∥cd，点p是形内的任一点，pm⊥ab，pn⊥cd
求证：m，n，p三点在同一直线上。
证明：过点p作ef∥ab，ab∥cd，∴ef∥cd
pm⊥ab，pn⊥cd
m，n，p三点在同一直线上。
例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上
已知：平行四边形abcd中，m，n分别是ad和bc的中点，o是ac和bd的交点。
求证：m，o，n三点在同一直线上。
证明一：连结mo，no
mo，no分别是△dab和△cab的中位线。
mo∥ab，no∥ab
根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。
m，o，n三点在同一直线上。
证明二：连结mo并延长交bc于n
mo是△dab的中位线。
mo∥ab在△cab中。
ao＝oc，on，∥ab
bn，＝n，c，即n，是bc的中点。
n也是bc的中点。
点n，和点n重合。
m，o，n三点在同一直线上
例3.已知：梯形abcd中，ab∥cd，∠a＋∠b＝90，m，n分别是ab和cd的中点，bc，ad的延长线相交于p
求证：m，n，p三点在同一直线上。
证明：∵∠a＋∠b＝90
apb＝rt
连结pm，pn
根据直角三角形斜边中线性质。
pm＝ma＝mb，pn＝dn＝dc
∠mpb＝∠b，∠npc＝∠b
pm和pn重合。
∴m，n，p三点在同一直线上。
例4.在平面直角坐标系中，点a关于横轴的对称点为b，关于纵轴的对称点是c，求证b和c是关于原点o的对称点 y
解：连结oa，ob，oc
a，b关于x轴对称， c a
oa＝ob，∠aox＝∠box
同理oc＝oa，∠aoy＝∠coy
∠coy＋∠box＝90o x
b，o，c 三点在同一直线上。
ob＝oc b和c是关于原点o的对称点b
例5.已知：⊙o1和⊙o2相交于a，b两点，过点b的直线ef分别交⊙o1和⊙o2于e，f。
求证：ae，af和⊙o1和⊙o2的直径成比例。
证明：作⊙o1和⊙o2的直径am，an，连结ab，bm，bn
am，an分别是⊙o1和⊙o2的直径。
∠abm＝rt∠，∠abn＝rt
m，b，n在同一直线上。
∠m＝∠e，∠n＝∠f
△amn∽△aef
丙练习36
1. 已知：梯形abcd中，ab∥cd，m，n，p分别是ad，bc，ac的中点求证：m，n，p三点在同一直线上。
2. 已知：△abc中，be，cf是中线，延长be到g，使eg＝be，延长cf到h，使fh＝cf，求证：g，a，h三点共线。
3. 已知：正方形abcd中，m，n分别是bc，cd的中点，de⊥an于e，求证：点m在de的延长线上（同33第5）
4. 求证：梯形两腰中点和两条对角线的中点，四点在同一直线上。
5. 已知：梯形abcd中，ab∥cd，∠a和∠d的平分线相交于o，求证：点o在梯形的中位线上。
6. 已知：△abc中，∠abm，∠acn分别是∠b，∠c的邻补角，从点a作∠b，∠c，∠abm，∠can四个角平分线的垂线段ad，ae，af，ag，垂足是d，e，f，g
求证：d，e，f，g四点在同一直线上。
7. 已知：点p在等边△abc外，pa=pb+pc，以pa为一边作等边△apq使点q和点c在pa的同一侧。
求证：pq必过点c
8. 已知：△abc中，ab=ac，直线ap∥bc，点d和点c是关于直线ap的对称点。
求证：点d和点b是关于点a的对称点。
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