第二章 2.3
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为( )
a．1＋ab．1＋a＋a2
c．1＋a＋a2＋a3 d．1＋a＋a2＋a3＋a4
解析： 将n＝1代入a2n＋1得a3，故选c.
答案： c2．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·2n－1)(n∈n＋)，从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需要增乘的代数式为( )
a．2(2k＋1) b．2k＋1
c． d．解析： 当n＝k时，等式左端为(k＋1)(k＋2)·…k＋k)，当n＝k＋1时，等式左端为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋k)(k＋k＋1)(2k＋2)，从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需增乘的式子为2(2k＋1)．
答案： a3．若命题a(n)(n∈n*)n＝k(k∈n*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈n*)时命题成立．则有( )
a．命题对所有正整数都成立。
b．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立。
c．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立。
d．以上说法都不正确。
解析： 由题意知n＝n0时命题成立能推出n＝n0＋1时命题成立，由n＝n0＋1时命题成立，又推出n＝n0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定．
答案： c4．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈n*)(
a．f(k)＋k－1 b．f(k)＋k＋1
c．f(k)＋k d．f(k)＋k－2
解析： 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．
猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．
答案： a二、填空题(每小题5分，共10分)
5．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是___
解析： ∵210＝1 024>103,29＝512<93，填10.
答案： 10
6．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈n*)的过程如下：
1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
2)假设当n＝k(k∈n*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈n*，等式都成立．
上述证明的错误是___
解析： 本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．
答案： 未用归纳假设。
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．用数学归纳法证明：1n∈n＋)．
证明： (1)当n＝1时，左边＝1－＝＝右边，等式成立．
2)假设当n＝k时等式成立，即1
当n＝k＋1时，1
即当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)和(2)，知等式对所有n∈n＋都成立．
8．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋n(n∈n*)．
证明： (1)当n＝1时，左式＝1＋，右式＝＋1，≤1＋≤，命题成立．
2)假设当n＝k(k∈n*)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋k，则当n＝k＋1时，11＋＋2k·＝1＋.
又1k＋2k·＝＋k＋1)，即n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有n∈n*都成立．
10分)是否存在一个等差数列，使得对任何自然数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立，并证明你的结论．
解析： 将n＝1,2,3分别代入等式得方程组：
解得a1＝6，a2＝9，a3＝12，设等差数列的公差为d，则d＝3，从而an＝3n＋3.
故存在一个等差数列an＝3n＋3，使得当n＝1,2,3时，等式成立．
下面用数学归纳法证明结论成立．
当n＝1时，结论显然成立．
假设n＝k(k≥1，且k∈n*)时，等式成立，即a1＋2a2＋3a3＋…＋kak
k(k＋1)(k＋2)．
那么当n＝k＋1时，a1＋2a2＋3a3＋…＋kak＋(k＋1)ak＋1
k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)[3(k＋1)＋3]
(k＋1)(k2＋2k＋3k＋6)
(k＋1)(k＋2)(k＋3)
(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]
所以当n＝k＋1时结论也成立．
由①②知存在一个等差数列an＝3n＋3，使得对任何自然数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立．
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