一、选择题。
1．如图，在四边形abcd中，ef∥bc，fg∥ad，则＋的值为( )
a．1 b．2
c．3d．4
解析：由已知得：
答案：a2．abcd是⊙o的内接四边形，延长bc到e，已知∠bcd∶∠ecd＝3∶2，那么∠bod等于( )
a．144b．72°
c．108d．54°
解析：由圆内接四边形性质知∠bad＝∠dce，而∠bcd∶∠ecd＝3∶2，且∠bcd＋∠ecd＝180°，∴bad＝72°.∴bod＝2∠bad＝144°.
答案：a3.如图，从圆o外一点a引圆的切线ad和割线abc，已知ad＝2，ac＝6，圆o的半径为3，则圆心o到ac的距离为( )
ab．3c．2d.
解析：由切割线定理得：ad2＝ab×ac，得ab＝2，bc＝4.故圆心o到ac的距离为：＝.
答案：d4.如图，△abc是⊙o的内接正三角形，弦ef经过bc的中点d，且ef∥ab，若ab＝2，则de的长是( )
ab. cd．1
解析：由图知de·df＝bd·cd＝1，同理eg·fg＝1.又dg＝ab＝1，de(1＋fg)＝1，fg(1＋de)＝1，de＝fg＝.
答案：b5.如图，⊙o和⊙o′都经过a、b两点，ac是⊙o′的切线，交⊙o于点c，ad是⊙o的切线，交⊙o′于点d，若bc＝2，bd＝6，则ab的长为( )
ab．2c．2d．3
解析：连接ao，ao′，oc，o′d.
由题意可知∠cab＝∠adb，∠acb＝∠bad，故△abc∽△dba，因此＝，＝ab＝2.
答案：b二、填空题。
6．(2023年高考湖南卷)如图，a，e是半圆周上的两个三等分点，直径bc＝4，ad⊥bc，垂足为d，be与ad相交于点f，则af的长为___
解析：如图连接ce，ao，ab.根据a，e是半圆周上的两个三等分点，bc为直径，可得∠ceb＝90°，∠cbe＝30°，∠aob＝60°，故△aob为等边三角形，ad＝，od＝bd＝1，df＝，∴af＝ad－df＝
答案：7.如图所示，过⊙o外一点p作一条直线与⊙o交于a，b两点．已知pa＝2，点p到⊙o的切线长pt＝4，则弦ab的长为___
解析：由切割线定理知pt2＝pa·pb，∴pb＝＝8.
弦ab的长为pb－pa＝8－2＝6.
答案：68.如图，ab、cd是半径为a的圆o的两条弦，它们相交于ab的中点p，pd＝，∠oap＝30°，则cp
解析：∵ap＝pb，∴op⊥ab.
又∵∠oap＝30°，∴ap＝a.
由相交弦定理得cp·pd＝ap2，cp＝＝a2×＝a.
答案： a9．如图，已知rt△abc的两条直角边ac，bc的长分别为3 cm,4 cm，以ac为直径的圆与ab交于点d，则。
解析：∵∠c＝90°，ac为圆的直径，bc为圆的切线，ab为圆的割线．
bc2＝bd·ba，即16＝bd·5，解得bd＝.
da＝ba－bd＝5－＝.
答案：三、解答题。
10.如图，ab是圆o的直径，d为圆o上一点，过d作圆o的切线交ab的延长线于点c，若da＝dc，求证：ab＝2bc.
证明：如图所示，连接od，bd，因为cd为⊙o的切线，ab为直径，所以∠adb＝∠odc＝90°.
所以∠oda＝∠bdc.
又因为da＝dc，所以∠dab＝∠dcb.
所以△ado≌△cdb.
所以oa＝bc，从而ab＝2bc.
11．(2023年高考辽宁卷)如图，a，b，c，d四点在同一圆上，ad的延长线与bc的延长线交于e点，且ec＝ed.
1)证明：cd∥ab；
2)延长cd到f，延长dc到g，使得ef＝eg，证明：a，b，g，f四点共圆．
证明：(1)因为ec＝ed，所以∠edc＝∠ecd.
因为a，b，c，d四点在同一圆上，所以∠edc＝∠eba.
故∠ecd＝∠eba.所以cd∥ab.
2)由(1)知，ae＝be.因为ef＝eg，故∠efd＝∠egc，从而∠fed＝∠gec.
连接af，bg，则△efa≌△egb，故∠fae＝∠gbe.
又cd∥ab，∠edc＝∠ecd，所以∠fab＝∠gba.
所以∠afg＋∠gba＝180°.
故a，b，g，f四点共圆．
12．(2023年高考江苏卷)如图，圆o1与圆o2内切于点a，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆o1的弦ab交圆o2于点c(o1不在ab上)．求证：ab∶ac为定值．
证明：如图，连接ao1并延长，分别交两圆于点e和点d.连接bd，ce.因为圆o1与圆o2内切于点a，所。
以点o2在ad上，故ad，ae分别为圆o1，圆o2的直径．
从而∠abd＝∠ace＝.
所以bd∥ce，于是＝＝＝
所以ab∶ac为定值．
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