2023年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）
第i卷。一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1）已知集合，，则(d)
a） （b） （c） （d）
2）已知复数，是的共轭复数，则 (a)
abc）1d）2
解析】先把z的最简式即化分母后再求解。
3）曲线在点处的切线方程为 （a）
a） （b） （c） （d）
先求导即斜率=2切线方程为即。
4）如图，质点p在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为1，那么点p到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为 （c）
解析】当点在，即，到轴的距离为。，∴
角速度为1，∴从转到轴需要的时间为，即当时，到轴的距离为。
5）已知命题。
函数在r为增函数，函数在r为减函数，则在命题：，：和：中，真命题是 (c)
a）， b）， c）， d），
6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为x，则x的数学期望为 (b)
a）100b）200c）300 （d）400
7）如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于 (b)
a） （b）
cd）8）设偶函数满足，则 (b)
a） （b）
c） （d）
9）若，是第三象限的角，则 (a)
a） （b） （c）2d）
10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (b)
a） （b） （c） （d）
11）已知函数若a，b，c互不相等，且，则abc的取值范围是 (c)
a） （b） （c） （d）
12）已知双曲线e的中心为原点，f(3,0)是e的焦点，过f的直线l与e相交于a，b两点，且ab的中点为n(-12,-15),则e的方程为 (b)
a） （b） （c） （d）
第ⅱ卷。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13） 设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组n个）区间[0,1]上的均匀随机数，…,和，…,由此得到n个点（，）i=1,2,…,n）,在数出其中满足≤（（i=1,2,…,n））的点数，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为。
(14)正视图为一个三角形的几何体可以是三棱柱，三棱锥，圆锥-(写出三种)
(15)过点a(4,1)的圆c与直线相切于点 b(2,1)．则圆c的方程为。
16)在中，d为边bc上一点，bd=dc, =120°，ad=2，若的面积为，则= 60° .
三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。
17)(本小题满分l2分)
设数列满足，
（ⅰ)求数列的通项公式：
（ⅱ）令，求数列的前n项和。
解：（i）由已知，当时，而
所以数列的通项公式为。
ii)由可知。
则， 18)(本小题满分12分)
如圈，己知四棱锥p-abcd的底面为等腰梯形，ab∥cd,⊥bd垂足为h,ph是四棱锥的高，e为ad中点。
ⅰ)证明：pe⊥bc
ⅱ）若==60°，求直线pa与平面peh所成角的正弦值。
解：（i）以为原点，，，分别为轴，线段的长为单位长度，建立坐标系如图所示。设。则
可得。ii）由已知条件可得，则。
设是平面的法向量。
则。因此可以取。
可得。直线和平面所成角的正弦值为。
19)(本小题满分12分)
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
ⅰ)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
ⅱ）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
ⅲ）根据（ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。
解：(i)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例估计值为。
ii) 9.967＞6.635，∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。
iii）由（ii）的结论可知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样的方法比采用简单随机抽样方法更好。
20)（本小题满分12分）
设分别是椭圆e:（a>b>0）的左、右焦点，过斜率为1的直线l与e 相较于a,b两点，且， ,成等差数列。
ⅰ)求e的离心率；
ⅱ）设点p（0,-1）满足，求e的方程。
解：由椭圆定义知，又。
得。的方程为，其中。
设，则两点坐标满足方程组。
化简得。则，
因为直线斜率为1，所以。
得。的离心率。
ii）设中点为，由（i）知。
由得。得，
轨迹的方程为。
21)（本小题满分12分）
设函数f(x)=.
ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间；
ⅱ）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围。
解：（i）时，，
当时，，当时，
故在上单调递减，在单调递增。
ii）由（i）可知，当且仅当时等号成立，故。
当，即时，当时，
由可得。则当时，
当时，，而。
当时， 综上得的取值范围为。
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22) (本小题满分10分) 选修4—1；几何证明选讲。
如图，已知圆上的弧=,过c点的圆的切线与ba的延长线交于e点，证明：
解：(i)∵
又∵与圆相切于点，∴
ii）∵，△相似于△故。即
23) （本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程。
已知直线： （t为参数），圆： (为参数)，ⅰ当=时，求与的交点坐标；
ⅱ）过坐标原点o作的垂线，垂足为a,p为oa的中点，当变化时，求p点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线；
解：（i）当时，的普通方程为，的普通方程为。
联立方程组。
解得与的交点为，
ii）的普通方程为。
a点坐标为。
当变化时，点轨迹的参数方程为。
为参数）点轨迹的普通方程为。
故点轨迹是圆心为，半径为的圆。
24） （本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲。
设函数f(x)=
ⅰ)画出函数y=f(x)的图像；
ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围。
解：（i）由于。
则函数的图像如图所示。
ii）由函数与函数的图像可知，当且仅当或时，函数。
与函数的图像有交点，故不等式的解集非空时，的取值范围。为。
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