应用数理统计a班作业答案(13页多项分布有问题)
10.15作业。
1. 若的二阶矩存在，则有。
证明： 则的方差为。
样本方差的期望为。
2. 已知，求。解：令
3. 证明抽样基本定理。
证明： 取一阶正交矩阵其中第一行元素均为，作正交变换，其中。
由于，故仍为正态变量。
又由，故两两不相关，又由于维随机变量是由维正态随机变量经由线性变换而得到的。因此，经由线性变换而得到，也是维正态随机变量。
推得相互独立，且有。
而，于是＝，由于相互独立，且， ,知，从而得。
又依赖于，而仅依赖于，再由的独立性，推知与相互独立。
4. （p32.2）试证：⑴，为任意实数；
证明： ⑴因为。
则有。⑵ 根据⑴推导得出的式子有。
5. （p33.12）设，，…为来自总体的一个样本，求。
解：由，则，对。
于是有，则。
6. （p34.23）已知，试证。
证明：由，设，其中，。
则，其中，故。
7. （p34.27） 设总体，，，为其样本，及分别为样本均值及方差，又设，且与，，…相互独立，试求统计量。
的抽样分布。
解：由正态分布的特性可得，
则有。从而。
又与相互独立，从而。
即。8. (p35.28) 设，，…和，，…分别是从和总体中抽取的独立样本，和是两个实数，试求的抽样分布。其中，和，分别为，，…和，，…的样本均值及样本方差。
解：由已知可知，于是有，则，于是有，即。
9． （p80.1）设总体x服从两点分布，，，为简单随机样本，⑴ 求；⑵ 求的频率估计。
解：⑴ 由，
则。 因为总体x服从两点分布，则参数的频率估计为，于是的频率估计。
10. （p80.2）设总体x服从正态分布，，，为简单随机样本，在这n个样本观测值中仅知道事件发生m次，求的频率替换估计。
解：由题意，则，而由频率，则有，
于是有，。11. （p80.5）设总体x服从的概率密度函数为，其中，，是未知参数，，，为来自总体的简单样本。试求参数的矩估计。
解：做矩估计，可得的矩估计，。
12. （p81.9）设x为电子元件的失效时间（单位：小时），其密度函数为。
抽取n个该电子元件，独立进行测试，失效时间分别为，，…
当已知时，求的极大似然估计；
当已知时，求的极大似然估计。
解：⑴ 似然函数为。
则有。令，得。
于是，的极大似然估计。
似然函数。
当已知时，为的单调递增函数，于是由极大似然估计定义可知，的极大似然估计为。
13. （p81.11）设总体x的概率密度函数为，，，为来自总体的简单样本，求参数及的极大似然估计。
解：由为概率密度函数可知，。
似然函数为，（）
由，则似然函数为的单调递增函数，且（），由极大似。
然估计定义可知，的极大似然估计为。
对，令，得到，于是的极大似然估计为。
14. （p81.12），，为来自总体x的简单样本，试证明下列估计量。
都是总体均值的无偏估计，并求出每个估计的方差，问哪个估计较优？
证明：对于有。
同理可得。故统计量，，都是总体均值的无偏估计。
而。统计量的方差最小，故较优。
15. （p82.13）设总体x的概率密度函数为，其中（）是未知参数，，，为来自总体x的简单样本，令，问作为的估计是否具有无偏性。
解：的分布函数为，其中
为x的分布函数。关于x求导可得的密度函数，于是，故作为的估计不具有无偏性。
16. （p82.14）设，，…为来自正态总体的简单样本， 求，使为的无偏估计；
求，使为的无偏估计。
解：⑴ 由题意知，，则。
积分可以求得，所以，要使为的无偏估计量，则必有。
故的取值应为。
⑵ 依题意可知，要使为无偏估计量，则必有。
故的取值应为。
17. （p82.15）设，，…为来自正态总体的简单样本，其中，是未知参数。若用作为的估计，试证是的一致最小方差无偏估计。
证明：令，，，则为完全统计量。且为和的函数所以为的umvue.
18. 证明正态总体的样本方差是总体方差的相合估计。
证明：因为样本方差为，则。
由切比雪夫不等式，，故。
由夹逼定理可知，，即为的相。
合估计。10.22作业。
p55 例2.3.3
课堂例题：设样本， ,**于正态总体，令参数，试证明：
是为的充分统计量。
证明：取，，
所以是的充分统计量。
同样可以得到是为的充分统计量。
习题第二章。
17. p83.19解：（1）正态分布的密度函数是。
所以是完全充分统计量。
又因为，所以是的无偏估计，且又是完全充分统计量的函数，所以是的一致最小方差无偏估计。
（2）由。可知，是完全充分统计量，因为，所以是的无偏估计，且又是的函数。
所以是的一致最小方差无偏估计。
18. p83.21解：由题意知，
且。又因为是完全充分统计量，是它的函数，所以时，结论成立。
21. p84.24解：由，知是完全充分统计量。
易知所以。由于开方分布的概率密度函数是。令。所以。
所以，且是的函数，所以是的一致最小方差无偏估计。
又因为。所以信息不等式的下界是。
令。所以不能达到信息不等式的下界。
22. 证明：随机变量服从两点分布，则其概率分布是。
则。因此crammer-rao的下界是。
又因为，的方差达到了信息不等式的下界，所以是的一致最小方差无偏估计。
解：(1)
(2)证明：
因为信息不等式的下界是。
所以是的有效估计，即一致最小方差无偏估计。
10.29作业。
1.为的样本，，样本容量为1，即为样本，损失函数见下表，求参数的minmax估计。
解：参数的决策可为四种情况，故风险函数
同理，所以，
于是， 所以，的极小极大估计量为。
2.，求参数的bayes估计。
解：所以样本的边缘密度为，又后验密度为，
故的bayes估计为：
令，得。即为的bayes估计。
p82.15.来自正态总体的简单样本，未知，若用作为的估计，试证是的一致最小方差无偏估计。
证明：令，，，且为完全统计量。
为和的函数。
所以为的umvue.
p85.30设来自正态总体简单样本，是来自正态总体的简单样本，且两样本相互独立，其中参数都未知，试求的置信水平为的置信区间。
解：由已知可得，统计量。
对给定的，由t分布的分位点的定义有，化简得，从而的置信水平为的置信区间为，其中，，，
p85.31 设来自正态总体简单样本，试求的置信水平为的置信区间。
解：由已知可得，对给定的，由分布的分位点的定义有，经推导知，从而的置信水平为的置信区间为。
21p84.24设来自正态总体简单样本，试求的一致最小方差无偏估计，问这个估计能否达到信息不等式的下界。
解：样本的概率密度为。
则似然函数为。
从而。令，则的估计值为。
故的极大似然估计量为。
且，达到下界。
11.5作业。
1. （p102，1）下列哪些假设是简单假设，哪些是复合假设？
服从正态分布不服从 ⑹
解：⑴，为复合假设；
⑵，⑷为简单假设。
2. （p102，2） 假设盒子里有10个球，为红色和白色，做假设：盒子里最多有一个白球。问 ⑴是否为简单假设？ ⑵写出的对立假设。
解：⑴不是简单假设；
的对立假设为，盒子里至少有两个白球。
3. （p103，3） 某种钢索的断裂强度服从正态分布，其中（），据以往的经验，正常生产时（）。现从一批这种钢索中抽取9根，测得断裂强度的平均值为（）。
设总体方差不变，在显著性水平下，能否认为这批钢索质量有显著提高。
解：单正态总体方差已知的均值检验，用-检验。
提出原假设和备择假设，：，当原假设为真时，检验统计量为，在显著性水平下，拒绝域为，计算检验统计量观察值为，故观察值不落入拒绝域，所以接受原假设，即认为这批钢索质量没有明显提高。
4. （p103，5）某种轴料的椭圆度服从正态分布，今从一批这种轴料中抽取15件测量其椭圆度，计算得到样本方差为0.025，试问这批轴料椭圆度与规定的方差0.
0004有无明显差异？（）
解：单正态总体均值未知的方差检验，用-检验。
提出原假设和备择假设，：，当原假设为真时，检验统计量为，在显著性水平下，拒绝域为。
计算检验统计量观察值为，故观察值落入拒绝域，所以拒绝原假设，即认为这批轴料椭圆度与规定的方差。
0.0004有明显差异。
11.19作业。
例4. 在社会调查中，调查人员可能怀疑男人、女人对某种提案会有不同的反应，他们根据被调查的性别和对某种提案的态度来进行分类，结果如下表（本表称为的列联表）
我们要检验原假设：公民的态度与性别是无关的。
解：设。
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