第1次作业。
教学内容： §1.1 实数集区间 §1. 2 函数的概念 §1.3 初等函数。
1.选择题：
答（ b ）
*2.设一球的半径为r，作外切于球的圆锥，试将圆锥体积v表示为高h的函数，并指出其定义域。
解：如图，
*3.设对一切不等于0及-1的实数恒有，1）证明；（2）.
解：（1）以代入式中的，可得。
2）在上式与所给之式中。
就可以得到 .
**4.设函数。
和 求的表达式，并求及。
解： 时，；
时，；时，，，
**5.设时，.
若是上的奇函数，试写出时，的表达式；
若是上的偶函数，试写出时，的表达式。
解： ，则， ，是奇函数，，，则，是偶函数，*6. 设函数在上有定义，试证明是上的偶函数，而是上的奇函数；
试证明在区间上有定义的函数，总能分解为一个奇函数与一个偶函数的和；
试将函数表示为一个奇函数与一个偶函数的和。
解： 对于，显然有，所以是上的偶函数。
而对于，显然有，所以是上的奇函数。
因为，而由知。
和分别为上的偶函数和奇函数，这样就证明了所需证之结论。
解： ，*8.已知是二次多项式，且，，求。
解：, 因为所以，而。据题意有。
9.求常数，使。
解：比较系数可知有 .
解得 .*10.根据下列给定的表达式，求（重复合）的表达式：
解： ，时，时，.，时，时，，
用数学归纳法可得。
解：**12.设，求。
解：.**13.若都是单调增加函数，且对一切都有，试证明。
证明。由于对一切都有可知： ，同理，**14. 解：，.
第2次作业。
教学内容： §2.1 导数概念。
*1. 设，试用导数定义求。解：
*2. 试用导数定义计算下列函数的导数：
1）， 求； （2），求；
3），求。解：（1）
2），即 ，
*3. 求曲线在点处的切线方程。
解：曲线在点处切线的斜率为，所以切线方程为。
*4. 化学反应速率通常是以单位时间内反应物浓度的减少或生成物浓度的增加来表征。设有一化学反应，反应物浓度与反应开始后的时间之间有如下关系：.
试表出时刻到时刻这段时间内的平均反应速率；
表出在时刻的瞬间化学反应速率。解： ；
*5. 已知沿直线运动物体的运动方程为：，求物体在时刻的（瞬时）速度。
解：，物体在时刻的（瞬时）速度。
*6. 在作等速旋转时，角速度是旋转角度与所花时间之比，已知非匀速旋转时，旋转角与时间有如下关系：。试导出非匀速旋转时的（瞬时）角速度表达式。
解。*7.在时间段流经导线某个截面的电量为，则称为时间段上的平均电流强度，记为，现已知时间段内流经导线这个截面的电量为，试求在时刻导线于该截面上的电流强度。
解：, 第3次作业。
教学内容：§2.2.1 函数极限的定义
*1. 试证：.
证明：，取满足条件，有。
*2. 试证：(12).
证明：(1)，限定，则有，所以只要取，当时，就有。
从而也就证明了。
2)，限定，则有，即，若使，取。 于是，当时，有 .
*3 写出的定义，并用定义证明。
解：（１则。
２），若限制，则可令。当时，必有。
即。 *4. 讨论函数在点处的左、右极限。
解：，*5. 讨论下列函数在所示点处的左右极限：
在取整数值的点； 符号函数在点处。
解： 为整数，.
*6. 从极限的定义出发，证明：
证明：只需证明即可。
由于：，即：， 取 ，则当时，有成立，即：.
**7. 设， 若存在的某个去心邻域，使当时，成立，试问是否必有成立，为什么？
解： 不一定。 如在点。
第4次作业。
教学内容： §2.2.2极限的性质 §2.2.3无穷小与无穷大。
1.填充题：
（1） 用m-x语言写出极限的定义为：
用m-δ语言写出极限的定义为：
用ε-语言写出极限的定义为：
*（2）设，则当 __时为无穷小； 当 __时，为无穷大。
答案；2、-1.
2. 选择题：
*（1）设，则时。
a）是无界量，也是无穷大量；
b）是无界量，不是无穷大量；
c）不是无界量，是无穷大量；
d）不是无界量，也不是无穷大量。答（b）
答：（d）答：a
解。**4、从定义出发证明：
证明：因为所以局部有界性定理可知。
又因为所以。
取，当时， ,
所以 .第5次作业。
教学内容：§2.2.4极限的运算法则 a-d
1． 选择题。
答：c答：d2． 求下列极限：
解： ..，有界，.
解： .
解：,，
解： 第6次作业。
教学内容：§2.2.4极限的运算法则e §2.2.5无穷小的比较。
*1．试求下列极限：
解：（1） ，原式。
*2．试求的导数。解：
解：4．选择题。
答：a分析：，*3)设，则在处。
ab）cd）不可导。
解： **5．适当选取、的值，使下式成立：（当）.
解： 时，，上式等价于，6．当时，试确定下列各无穷小对的阶数。
解：（1）， 阶数为2。
2）， 阶数为1.
*7.，试证明函数在点处可导。
证明：由于时，是无穷小量，是有界量，所以。
解：， 则。
**9. 设，其中在处可导，且，试证明。
证明： ，10.
解： .**11.（1）若当（某个定数）时，恒有，且已知。
证明：.2）若对于一切正数，都有，试求：.
证明：（1）依题意，，使仅当时，；同理，，当时，有，令则当时，同时成立，即，亦即。
2）依题意，有，，及，利用（１）知。
第7次作业
教学内容： §2.3.1函数连续的概念 §2.3.2连续函数的运算性质 §2.3.3初等函数的连续性。
*1．从定义出发证明函数在任一点处连续。
分析： ，证明：，取，当时，
函数在任一点处连续。
*2．讨论函数在点的连续性。
05上作业解答
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作业05 解答
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《数学建模》05春模拟试题参考解答
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