第19次作业。
教学内容：§4 .1 .3 最大值与最小值 §4 .1 .4 方程根的个数。
*2．求函数在指定区间上的最大值和最小值。
解： ，临界点为，。
考虑，在端点处，。
最大值为，最小值为。
解：由于所给函数与函数有相同的最大值与最小值点，
*4．设， 在心形线的第一象限部分上找一点， 使。
的面积最大。
解：由于线段为一个确定的值， 所以本问题本质上是求点纵坐标。
的最大值。令， 可得上的唯一驻点 ,
根据实际意义可知， 所求之点就是对应于的点
*5．欲造一个有上、下底的圆柱形铁桶，容积为定植，试问当铁桶的底半径和高度取何值时，才能使用料最省？
解：所需材料为。
定值，。，得到唯一驻点。
此时。根据问题的实际情况，当，时，所需材料最省。
*6 在铁道线（假设是直线）上有一点与原料**站相距，在铁道线外有一。解：
解： *8. 证明方程在区间上有且仅有一个解，并用对分法将此含根区间缩小至原来区间的四分之一。
解： 设 , 则在[7,63]上连续，在(7,63)内可导，且
根据闭区间上连续函数的零值点定理可知方程在区间上至少有一个根；
又因为。可知方程在区间上至多有一个根。
综上所述，可知方程在区间上有且仅有一个解。
又由于 ,含根区间[7,63]可缩小一半为[35,63]； 又由于。
含根区间[35,63]又可缩小一半为[35,49].
**9. 讨论方程实数根的个数。
解： 设 , 则在上可导， 且，当时， 有， 所以 ；
当时， 有， 所以 ,所以有极大值和极大值 .
由于还有 , 所以综合起来有：
当时， 方程有三个实数根；
当时， 方程有两个实数根；
当时， 方程有一个实数根。
**10. 证明方程在区间内有且仅有一个解，并证明。
证明： 设， 显然函数在内连续且可导。
由于 , 可知方程在区间。
内至少有一个解；
又由于在区间内有 , 其中等号只在点成立，所以在内严格单调增加， 可知方程在区间内至多有一个解；
综上所述，可知方程在区间内有且仅有一个解。由于。且。
所以有。此即为所需证明之结论。
*11．（1）某公司生产件产品（假定全部售出），每件产品售价是元，总共消耗成本元，为了获得最大利润，公司应安排产品的生产数量是多少？
2）在问题（1）中，如果国家对该公司生产的每件产品增税4元，为了获得最大利润，该公司要交税多少？
3）在问题（2）中，如果该公司盲目扩大生产，试问生产水平怎样时，该公司要赔本？解：（1）
再交税 3600元。
3），解得：，
第20次作业。
教学内容：§4.2 函数的凸性与拐点。
1. 填充题。
*(1). 曲线的拐点是。答案：
*(3).是区间上的凸函数；是区间上的凹函数。
答案，. 说明：也可以填，.
2．选择题。
答： *（2,根据连续函数的局部保号性可得结论。
答： *3．求函数的凸凹区间和它图形上的拐点。
解： ，当或时，当时，.
函数在区间上是凸函数，在区间，上是凹函数。
其图形上的拐点为，.
**4．试决定常数的值，使曲线在拐点处的法线通过坐标原点。
解。令，。 此时，过拐点处的法线为。
或 .将代入，解得。
**5. 证明： 无论实数取何值， 曲线的三个拐点总在同一条直线上。
证明： .当或时，；
当或时，所以曲线有三个拐点。
它们都在直线上。
***6. 若， 证明： 点必是曲线的拐点。
证明： 不妨设， 由三阶导数的定义可知
再根据局部保号性定理可知： ,当时，与同号，可知点确是曲线的拐点。
第21次作业。
教学内容：§4 .3 .1 曲率的概念 §4 .3 .2 曲率的计算公式 §4 .3 .3 曲率半径。
答： 2．填充题：
*（1）曲线在点处的曲率和曲率半径。
答：.*（2）抛物线在其顶点处的曲率和曲率半径。
答：.*（3）椭圆在点处的曲率和曲率半径。
答：.*3.求曲线，在处的曲率和曲率半径。
解： ，*4. 求曲线在处的曲率。
解： ，曲率为。
*5．证明曲线在点处的曲率半径为。
证明： ，6．求曲线上曲率半径最小的点，并求出该最小值。
解。显然时，分子最大，分母最小，曲线上曲率在点处有最大值，所以在此点有。
第22次作业。
教学内容：§4 .4 .5函数图形的的描绘 §4.5 相关变化率小结。
*1. 曲线的渐近线的条数为。
a） 2条； （b）3条； （c）4条； （d）5条。
答：（c）2．画出下列函数的图形。
解：的定义域为，且为奇函数。, 令，可知为驻点。
令，拐点为，.
又，有水平渐近线。如图示：
解：， 为垂直渐近线1 1
3* 求曲线的斜渐近线。
解：时，时，所以斜渐近线有两条和。
4* 求曲线的斜渐近线。
解：等价于， ，所以斜渐近线为 .
*5．设球的体积以常数速率变化，证明，其表面积的变化速率与半径成反比。
证：。，对两边求导，.
对两边求导，.
*6. 一小球从坐标原点出发， 沿着曲线。
往下滚， 已知其铅直速度为常数， 求它在任一点处的运动速度与运动方向。
解： 由， 可得， 所以。
所以运动速度为。
而运动方向为。
注意： 这里常数必定是一个负数。
**7. 水从底半径为高为开口向上的圆锥形漏斗底部小孔流出。 设底部小孔面积为，当漏斗内水面高度为时， 水从底部小孔流出的速度为
求液面高度为时， 液面高度降低的速度。
解： 因为 ,
而由可得 ,所以有 .
***8．设在的某邻域内具有阶连续导数，且，而。试证明：
当为奇数时，则点必是曲线的拐点；
当为偶数时，则点不是曲线的拐点。
证： 在的某邻域内具有阶连续导数，由阶泰勒公式，，在与之间。
不妨设，根据连续函数的局部保号性定理，可知存在点的某个邻域，当在该邻域内时总有有。 由于在与之间，可知也必然在该邻域内，所以有。 于是。
为奇数时，只要，就有。
当时，是曲线的拐点。
当为偶数时，只要，就有。
不是曲线的拐点。
*9．如果，导出的牛顿近似计算公式。
解：设要求的数为x，则，即求的根，此时。
第23次作业。
教学内容：§5.1定积分概念 5.2定积分的性质。
1．选择题。
（1）定积分所表示的和式极限是。答：d
答：c答： b
答： c
答： b 2. 试证不等式。证明。
*3. 试估计下列积分值：。
解：当时。且。
因而有。从而。
第24次作业。
05上作业解答
第1次作业。教学内容 1.1 实数集区间 1.2 函数的概念 1.3 初等函数。1.选择题 答 b 2.设一球的半径为r，作外切于球的圆锥，试将圆锥体积v表示为高h的函数，并指出其定义域。解 如图，3.设对一切不等于0及 1的实数恒有，1 证明 2 解 1 以代入式中的，可得。2 在上式与所给之式中...
作业05 解答
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《数学建模》05春模拟试题参考解答
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