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课时提升作业(三十一)
一、填空题。
1.(2012·辽宁高考)在等差数列中，已知a4+a8=16,则a2+a10= .
2.(2013·无锡模拟)已知等差数列满足：a1=-2,a2=0.若将a1,a4,a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 .
3.已知数列，若点(n,an)(n∈n*)在经过点(5,3)的定直线l上，则数列的前9项和s9= .
4.(2013·盐城模拟)已知数列中，a1=1,且点p(an,an+1)(n∈n*)在直线x-y+1=0上，则数列的通项公式为 .
5.设等差数列的前n项和为sn,若s3=12,s6=42,则a10+a11+a12= .
6.(2013·徐州模拟)已知等差数列中，|a3|=|a9|,公差d<0,sn是数列的前n项和，则s5 s6(填》,《或=).
7.若sn是等差数列的前n项和，且s8-s3=10,则s11的值为 .
8.若为等差数列，a15=8,a60=20,则a75= .
9.设sn为等差数列的前n项和，s4=14,s10-s7=30,则s9= .
10.(能力挑战题)设等差数列，的前n项和分别为sn,tn,若对任意自然数n都有，则的值为 .
二、解答题。
11.(2013·扬州模拟)已知数列是一个等差数列，且a2=-1,a5=5.
1)求的通项an.
2)求前n项和sn的最小值。
12.(2013·泰州模拟)等差数列的首项为a1,公差d=-1,前n项和为sn.
1)若s5=-5,求a1的值。
2)若sn≤an对任意正整数n均成立，求a1的取值范围。
13.已知数列中a1=,an=2- (n≥2,n∈n*),数列满足bn=(n∈n*).
1)求证：数列是等差数列。
2)若sn=(a1-1)·(a2-1)+(a2-1)·(a3-1)+…an-1)·(an+1-1),是否存在a与b∈z,使得：a≤sn≤b恒成立。若有，求出a的最大值与b的最小值，若没有，请说明理由。
14.(能力挑战题)数列满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…)是常数。
1)当a2=-1时，求λ及a3的值。
2)数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由。
答案解析。1.【思路点拨】利用首项a1与公差d的关系整体代入求解，也可直接利用等差数列的性质求解。
解析】方法一：
a4+a8=(a1+3d)+(a1+7d)=2a1+10d,a2+a10=(a1+d)+(a1+9d)=2a1+10d,a2+a10=a4+a8=16.
方法二：由等差数列的性质。
a2+a10=a4+a8=16.
答案：162.【解析】∵数列是等差数列且a1=-2,a2=0,d=2.
a4=-2+6=4,a5=6.
设所加的这个数为x,则(4+x)2=(-2+x)(6+x),x=-7.
答案：-73.【解析】点(n,an)(n∈n*)在经过点(5,3)的定直线l上，得a5=3,根据等差数列性质得：s9=9a5=27.
答案：274.【解析】由题意知an-an+1+1=0,即an+1-an=1.
数列为以1为首项，以1为公差的等差数列。
an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n.
答案：an=n
5.【思路点拨】根据已知的特点，考虑使用等差数列的整体性质求解。
解析】根据等差数列的特点，等差数列中a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,a10+a11+a12也成等差数列，记这个数列为，根据已知b1=12,b2=42-12=30,故这个数列的首项是12,公差是18,所以b4=12+3×18=66.
答案：666.【思路点拨】根据已知得到a3+a9=0,从而确定出a6=0,然后根据选项即可判断。
解析】∵d<0,|a3|=|a9|,∴a3>0,a9<0,且a3+a9=0,∴a6=0,a5>0,a7<0,s5=s6.
答案：=7.【解析】s8-s3=10=10
5a1+8a8-3a3=20
10a1+50d=20a1+5d=2a6=2
s11==11a6=22.
答案：228.【思路点拨】直接解出首项和公差，从而求得a75,或利用a15,a30,a45,a60,a75成等差数列直接求得。
解析】方法一：为等差数列，设公差为d,首项为a1,那么即。
解得：a1=,d=.
所以a75=a1+74d=+74×=24.
方法二：因为为等差数列，所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列，设公差为d,则a60-a15=3d,所以d=4,a75=a60+d=20+4=24.
答案：249.【解析】设首项为a1,公差为d,由s4=14得。
4a1+=14 ①
由s10-s7=30得3a1+24d=30,即a1+8d=10 ②
联立①②得a1=2,d=1.∴s9=54.
答案：5410.【解析】∵,为等差数列，答案：
方法技巧】巧解前n项和的比值问题。
关于前n项和的比值问题，一般可采用前n项和与中间项的关系，尤其是项数为奇数时sn=na中，也可利用首项与公差的关系求解。另外，熟记以下结论对解题会有很大帮助：若数列与都是等差数列，且前n项和分别是sn与tn,则。
变式备选】已知两个等差数列和的前n项和分别为an和bn,且，则使得为整数的正整数n的个数是 .
解析】由等差数列的前n项和及等差中项，可得=
故n=1,2,3,5,11时，为整数。
答案：511.【解析】(1)设的公差为d,由已知条件， 解出a1=-3,d=2.
所以an=a1+(n-1)d=2n-5.
2)sn=na1+d=n2-4n=(n-2)2-4.
所以n=2时，sn取到最小值-4.
变式备选】在数列中，an=43-3n,则当n为何值时，前n项和sn取得最大值。
解析】方法一：∵an=43-3n,an+1-an=[43-3(n+1)]-43-3n)=-3.
又a1=40,数列是首项为40,公差为-3的等差数列，sn=na1+d=40n-
n2+n= (n-)2+,当n=14时，sn最大。
方法二：令an=43-3n≥0,解得n≤=,即当n≤14时，an>0,当n≥15时，an<0,s14最大，即当n=14时，sn最大。
12.【解析】(1)由条件得，s5=5a1+=-5,解得a1=1.
2)由sn≤an,代入得na1-≤a1+1-n,整理，变量分离得：(n-1)a1≤n2-n+1
(n-1)(n-2),当n=1时，上式成立。
当n>1时，a1≤(n-2),n=2时， (n-2)取到最小值0,a1≤0.
变式备选】(2013·长春模拟)等差数列的各项均为正数，其前n项和为sn,满足2s2=a2(a2+1),且a1=1.
1)求数列的通项公式。
2)设bn=,求数列的最小值项。
解析】(1)设数列的公差为d.
由2s2=+a2,可得2(a1+a1+d)=(a1+d)2+(a1+d).
又a1=1,可得d=1(d=-2舍去),数列是首项为1,公差为1的等差数列，an=n.
2)根据(1)得sn=,bn=.
由于函数f(x)=x+ (x>0)在(0, ]上单调递减，在[,+上单调递增，而3<<4,且f(3)=3+,f(4)=4+,所以当n=4时，bn取得最小值，且最小值为+1=,即数列的最小值项是b4=.
13.【解析】(1)由题意知bn-1=,bn-bn-1==1(n∈n*,n≥2).
是首项为b1==,公差为1的等差数列。
2)依题意有sn=(a1-1)·(a2-1)+(a2-1)·(a3-1)+…an-1)·(an+1-1)
设函数y=,在x>3.5时，y>0,y'<0,在(3.5,+∞上为减函数。
故当n=3时，sn=取最小值。
而函数y=在x<3.5时，y<0,y'=<0,在(-∞3.5)上也为减函数。
故当n=2时，取最大值：s2=.
a的最大值与b的最小值分别为-3,2.
14.【解析】(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…)且a1=1,所以当a2=-1时，得-1=2-λ,故λ=3.从而a3=(22+2-3)×(1)=-3.
2)数列不可能为等差数列，理由如下：
由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,得。
a2=2-λ,a3=(6-λ)2-λ)a4=(12-λ)6-λ)2-λ)
若存在λ,使为等差数列，则a3-a2=a2-a1,即(5-λ)2-λ)1-λ,解得λ=3.
于是a2-a1=1-λ=2,a4-a3=(11-λ)6-λ)2-λ)24.
2019世纪金榜课时提升作业 十一 第二章第八节
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