第一章全等三角形。
本章主要内容是关于全等三角形的判定和性质运用以及三角形中角平分线的性质，要求掌握不同条件下能对比较复杂的全等图形进行证明和应用。
第十一课时角平分线的性质（2）
重点：深入掌握角平分线定律及其题目中的应用。
难点：能在几何证明中妙用角的平分线性质。
知识点分析与例题选讲。
角平分线的性质回顾。
1.角平分线上的一点到角的两边距离相等。
2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。（逆运用）
三角形角平分线有个有趣的性质：三角形abc中角a的平分线为ad，则ab:ac=bd:cd。(可用面积法证明)
三角形的三条角平分线相交于一点，该点为三角形的内心，且内心到三条边的距离相等。
例题讲解。导问）三角形内角的平分线相交于一点，为什么？
例1 如图1，oc平分，p是oc上一点，d是oa上一点，e是ob上一点，且pd=pe，求证：。
分析：要证，、在图形的不同位置，又无平行线使它们联系起来，但若考虑设法把其中的一个角转化为另一个角的邻补角，问题便可以解决。由于oc是角平分线，故可过p点作两边的垂线，构造出两个直角三角形，再证明这两个三角形全等即可。
证明：过点p作，，垂足分别为m、n
因oc是角平分线，，，故pm=pn
由pd=pe，pm=pn，得。
则，而。点拨：遇到角平分线问题，我们可以过角平分线上的一点向这个角的两边引垂线，以便充分运用角平分线定理。
例2 如图2，在中，的平分线与bc边的垂直平分线相交于点p。过点p作ab、ac（或延长线）的垂线，垂足分别是m、n。求证：bm=cn。
分析：要证bm=cn，由图形特征可构造以bm、cn为边的两个三角形，并证明这两个三角形全等。考虑的平分线与bc边的垂直平分线相交于点p，于是连接pb、pc，则利用垂直平分线和角平分线的知识即可解决。
证明：因ap是角平分线，，，故pm=pn
又因pd是bc的垂直平分线，故pb=pc
因pb=pc，pm=pn，故。
点拨：这是一道垂直平分线与角平分线的综合运用问题。上述解答省去了两次全等的证明，相信同学们一定能体会到线段的垂直平分线定理与角平分线定理在几何证明中的重要性。
每课一练：1．如图，已知bq是∠abc的内角平分线，cq是∠acb的外角平分线，由q出发，作点q到bc、ac和ab的垂线qm、qn和qk，垂足分别为m、n、k，则qm、qn、qk的关系是。
2．如图，在△abc中，∠b=300，∠c=900，ad平分∠cab，交cb于d，de⊥ab于e，则∠bde
3．如图，已知ab∥cd，pe⊥ab，pf⊥bd，pg⊥cd，垂足分别为e、f、g，且pf=pg=pe，则∠bpd= ．
4．如图，已知ab∥cd，0为∠cab、∠acd的平分线的交点．oe⊥ac，且oe=2，则两平行线ab、cd间的距离等于 ．
5．已知rt△abc中，∠c=900，ad平分∠bac交bc于d，若bc=32，且bd:cd=9:7，则d到ab边的距离为( )
a)18 (b)16 (c)14 (d)12
6．如图，mp⊥np，mq为∠nmp的角平分线，mt=mp，连结tq，则下列结论不正确的是( )
(a)tq=pq (b) ∠mqt=∠mqp (c) ∠qtn=900 (d) ∠nqt=∠mqt
7．如图是一个平分角的仪器，其中ab=ad，bc=dc．将点a 放在角的顶点，ab和ad沿着角的两边放下，沿ac画一条射线ae，ae就是角平分线．说明它的道理．
8．如图，ad是∠bac的平分线，de⊥ab于e，df⊥ac于f，且db=dc．求证：be=cf．
9．如图，c、d是∠aob平分线上的点，ce⊥oa于e，cf⊥ob于f． 求证：∠cde=∠cdf．
10．如图，ad⊥dc，bc⊥dc：，e是dc上一点，ae平分∠dab．
(1)如果be平分∠abc，求证：点e是dc的中点；
(2)如果e是dc的中点，求证：be平分∠abc．
11．如图，△abc中，p、q分别是bc、ac上的点，作pr⊥ab，ps⊥ac，垂足分别是r、s．若aq=pq，pr=ps，下列结论：①as=ar；②pq∥ar；③△brp≌△csp．其中正确的是( )
(a)①③b)②③c)①②d)①②
12．如图，△abc中，ab=ac，ad平分∠bac，de⊥ab，df⊥ac，垂足分别是e、f，则下列四个结论中：①ad上任意一点到b、c的距离相等；②ad任意一点到ab、ac的距离相等；③ad⊥bc且bd=cd； ④bde=∠cdf．其中正确的是( )
(a)②④b) ②cd)①②
13．(山东竞赛题，2003)如图，在rt△abc中，∠acb=900，∠cab=300，∠acb的平分线与∠abc的外角平分线交于e点，则∠aeb=(
a)500 (b)450 (c)400 (d)350
14．如图，已知相交直线ab和cd及另一直线mn．如果要在mn上找出与ab、cd距离相等的点，方法是 ，这样的点至少有个，最多有个．
15．如图，在直线mn上找一点p，使点p到直线ab和射线oc的距离相等．
16．如图，∠c=900，ac=bc，ad是∠bac的角平分线．求证：ac+cd=ab．
17．如图，在△abc中，ab=bc=ac，ad⊥bc于d，e、f分别为ab、ac中点．求证：da平分∠edf．
18．如图，△abc中，∠abc=1000，∠acb的平分线交ab于e，在ac上取一点d，使∠cbd=200，连结de．求∠ced的度数．
19．如图，已知在△abc中，∠b=600,△abc的角平分线ad、ce相交于点o，求证：ae+cd=ac．
20．如图，p是△abc的∠bac的外角平分线上一点．
1)求证：pb+pc＞ab+ac；
2)若p是△abc的∠bac的平分线上一点且ac＞ab，画出图形，试分析pb、pc、ab、ac间又有怎样的不等关系？
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