第十一模块 A

第十一模块平面解析几何。

名师检测(a)

时间：120分钟分值：150分。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．)

1.已知f(1,0)，直线l：x＝－1，点b是l上的动点，过点b平行于x轴的直线与线段bf的垂直平分线交于点m，则点m的轨迹是( )

a．圆b．抛物线。

c．椭圆d．双曲线。

解析：由m是线段bf的垂直平分线上一点，得mf＝mb，又mb⊥l，所以根据抛物线的定义知，点m的轨迹是抛物线．故选b.

答案：b2.设双曲线－＝1(a>b>0)的半焦距为c，已知顶点a(a,0)到渐近线的距离为c，那么，该双曲线的离心率为( )

ab. cd.

解析：由d＝＝c可得3ab＝c2，解得e＝或，又＝<1，排除e＝，得e＝.

答案：a3.已知点f1、f2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，点p在双曲线上，且|pf1|＝4.5，则|pf2|等于( )

a．0.5或8.5b．0.5

c．1.5d．8.5

解析：由双曲线的定义知|pf1|－|pf2|＝±4，因此|pf2|＝0.5或8.

5，但当|pf2|＝0.5时，|pf1|＋|pf2|<|f1f2|＝6，因此|pf2|＝0.5舍去，故|pf2|＝8.

5.答案：d4.已知双曲线的两个焦点f1(－，0)、f2(，0)，p为双曲线上的一点，且pf1⊥pf2，|pf1|·|pf2|＝2，则双曲线的标准方程为( )

a.－＝1b.－＝1

c.－y2＝1d．x2－＝1

解析：本题主要考查双曲线的定义、几何性质、焦点三角形等知识．不妨设|pf1|＝m，|pf2|＝n，因为点p在双曲线上，所以可得：

解之得：a＝2，又c＝，所以b＝1，故选c.

答案：c5.已知双曲线－＝1与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，其中a1>0，a2>b>0，那么以a1、a2、b为边长的三角形是( )

a．锐角三角形b．直角三角形。

c．钝角三角形d．等腰三角形。

解析：12＝ee＝·＝则aa＝aa＋(a－a)b2－b4，所以a－a＝b2，则以a1、a2、b为边长的三角形是以a2为斜边的直角三角形，故选b.

答案：b6.椭圆c1：＋＝1(a>b>0)的左准线为l，左，右焦点分别为f1，f2，抛物线c2的左准线为l，焦点为f2，记p为c2的一个交点，则－＝(

ab．1c．2d．值与a，b有关。

解析：作出草图，由题设及椭圆的两个定义和抛物线的定义知，＝，e，pf1|＋|pf2|＝2a，∴|pf2|＝，pf1|＝，则－＝－1＋－＝1，故选b.

答案：b7.已知直线y＝k(x－3)，(k∈r)与双曲线－＝1，某学生作了如下变形，由，消去y后得到形如ax2＋bx＋c＝0的方程，当a＝0时，该方程恒有一解；当a≠0时，δ＝b2－4ac≥0恒成立，假设学生的演算过程是正确的，根据学生演算过程所提供的信息，求出实数m的范围为( )

a．[9b．(0,9]

c．(0,3d．[3，＋∞

解析：本题考查了直线与双曲线的位置关系及简单的逻辑推理．由已知条件可推得直线与双曲线恒有公共点，且直线过定点(3,0)，∴点(3,0)在双曲线右支上或在其右支的右侧，即得≤3，解之得0答案：b

8.经过椭圆＋＝1的右焦点任意作弦ab，过a作椭圆右准线的垂线am，垂足为m，则直线bm必经过点( )

a．(2,0b．(，0)

c．(3,0d．(，0)

解析：依题意，选取过椭圆＋＝1右焦点且垂直于x轴的弦为ab，则a、b坐标分别为(1，)、1，－)右准线方程为x＝4，所以过a作右准线的垂线，垂足m(4，)所以直线bm方程为y＝x－，由于所给选项均为x轴上的点，直线bm与x轴交点为(，0)，所以选择b.

答案：b9.已知点m(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内一点，直线m是以点m为中点的弦所在直线，直线l的方程是ax＋by＝r2，那么( )

a．m∥l，且l与圆相交b．l⊥m，且l与圆相交。

c．m∥l，且l与圆相离d．l⊥m，且l与圆相离。

解析：∵m(a，b)是圆内一点，则有a2＋b2圆心到直线l的距离d＝>r.

l与圆相离．

设a(x1，y1)、b(x2，y2)为直线m与圆的两交点，则有。

－②可得km＝＝－

又∵m(a，b)为a、b的中点，则有＝a，＝b，将其代入③，有km＝－＝k1，∴l∥m.

答案：c10.椭圆的两焦点分别为f1(0，－1)、f2(0,1)，直线y＝4是椭圆的一条准线．设点p在椭圆上，且||－m≥1，求的最大值和最小值分别是( )

ab.，cd.，解析：解答本题的入手点是写出椭圆的标准方程．

依据题意，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则由a＝2，c＝1，b＝，椭圆方程为＋＝1.

因为p在椭圆上，故。

＝||cos∠f1pf2

||·m＋)，由平面几何知识得。

|－|即m≤2，所以m∈[1,2]．

令f(x)＝x＋，设x1，x2∈[1,2]且x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－)＜0，所以函数f(x)在[1,2]上是单调递减的，从而当m＝1时，原式取得最大值，当m＝2时，原式取得最小值。

答案：a评析：本题的综合性极强，涉及到解析几何、向量、函数、不等式等知识，其中，应用平面几何知识，构造函数，进而判断函数的单调性，这使问题的解答水到渠成．

11. p是长轴在x轴上的椭圆＋＝1上的点，f1、f2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则|||的最大值与最小值之差一定是( )

a．1b．a2

c．b2d．c2

解析：在椭圆中，由于||+2a(常数)，|2＝()2＝a2.

当且仅当||=即p为短轴顶点时，||取得最大，最大值为a2.

同理当p在长轴顶点时，取得最小，a－c)(a＋c)＝a2－c2，∴a2－(a2－c2)＝c2.

本题亦可由焦半径公式求出|||的最大、最小值分别是a2，b2.

答案：d12. p为四棱锥s－abcd的面sbc内一点，若动点p到平面abc的距离与到点s的距离相等，则动点p的轨迹是面sbc内的( )

a．线段或椭圆的一部分。

b．双曲线或椭圆的一部分。

c．双曲线或抛物线的一部分。

d．抛物线或椭圆的一部分。

解析：当平面sbc⊥平面abc时，p到平面abc的距离等于p到直线bc的距离，这时p到定点s与定直线bc的距离相等，故p的轨迹为抛物线的一部分，当平面sbc与平面abc不垂直时，如图，过p作po⊥平面abcd，由题知po＝ps，过o作oe⊥bc于e，连结pe，则pe⊥bc，∠peo是二面角s－bc－a的平面角．

＝sin∠peo，即＝sin∠peo<1，点p到定点s与到定直线bc的距离的比值恒等于二面角s－bc－a的平面角的正弦值，是一个小于1的常数，∴p的轨迹为椭圆的一部分．

答案：d二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上)

13.对于抛物线，以过焦点的统为直线的圆与准线相切，那么类似的有；以过椭圆一个焦点的弦为直径的圆与对应的准线。

解析：设过椭圆的一个焦点f的弦ab的中点为c，a、b、c在与焦点f对应准线上的射影分别为a′、b′、c′，有|cc′|＝aa′|＋bb′|)而＝e，有|aa′|＝af|，同理|bb′|＝bf|，故|cc′|＝af|＋|bf|)＝ab|>·ab＝r(>1)，故准线与圆相离．

答案：相离。

14.椭圆＋＝1的焦点是f1和f2，点p在椭圆上，且∠f1pf2是钝角，则△f1pf2的面积的取值范围为。

解析：由已知得点p(x，y)应在圆x2＋y2＝9的内部，即x2＋y2<9，又＋＝1，解得1<|y|≤，f1pf2的面积等于3|y|，∴f1pf2的面积的取值范围是(3，3]．

答案：(3,3]

15.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为___

解析：本题考查双曲线的方程及性质．不妨设双曲线方程－＝1，取其中一个顶点(a,0)，一个焦点(c,0)，一条渐近线y＝x.则焦点到渐近线的距离d1＝＝6，顶点到渐近线的距离d2＝＝2，两式相除得e＝＝3.

答案：316.已知点f1，f2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，过f1且垂直于x轴的直线与双曲线交于a，b两点，若△abf2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是___

解析：当△abf2为直角三角形时，ab为斜边，且|af1|＝|bf1|.则|af1|＝2c，|af2|＝2c.

又|af2|－|af1|＝2(－1)c＝2a.

e＝＝1＋.又e＞1，∴离心率e的取值范围是(1,1＋)．

答案：(1,1＋)

三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17～21题每题12分，22题14分)

(12分)在平面直角坐标系xoy中，过定点c(0，p)作直线与抛物线x2＝2py(p>0)相交于a、b两点．

1)若点n是点c关于坐标原点o的对称点，求△anb面积的最小值；

2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以ac为直径的圆截得弦长恒为定值，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

解：(1)依题意得，点n的坐标为n(0，－p)，可设a(x1，y1)，b(x2，y2)，直线ab的方程为y＝kx＋p，与x2＝2py联立得 x2＝2py，,y＝kx＋p.消去y得x2－2pkx－2p2＝0.

由韦达定理得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2.

于是s△abn＝s△bcn＋s△acn＝·2p·|x1－x2|

p|x1－x2|＝p

p＝2p2·.

当k＝0时，(s△abn)min＝2p2.

2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，ac的中点为o′，l与ac为直径的圆相交于点p、q，pq的中点为h，则o′h⊥pq，o′点的坐标为。

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第十一讲11第十一讲拨云见日法

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