第十一模块平面解析几何。
名师检测(b)
时间：120分钟分值：150分。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．)
1. 设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )
ab．2cd.
解析：双曲线－＝1(a<0，b<0)的渐近线方程为y＝±x，联立方程组，消去y得x2±x＋1＝0，渐近线与此抛物线相切，δ＝2－4＝0，即b2＝4a2.
答案：c2. 点p在直线l：y＝x－1上，若存在过p的直线交抛物线y＝x2于a，b两点，且|pa|＝|ab|，则称点p为“点”，那么下列结论中正确的是( )
a．直线l上的所有点都是“点”
b．直线l上仅有有限个点是“点”
c．直线l上的所有点都不是“点”
d．直线l上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点”
解析：设p(x0，x0－1)，a(x1，x)，且|pa|＝|ab|知，a点是bp的中点．由中点坐标公式得b(2x1－x0,2x－x0＋1)代入抛物线方程利用δ与0的关系可得存在这样的点b.所以直线l上的所有点都是“点”．
答案：a3. 设抛物线y2＝2x的焦点为f，过点m(，0)的直线与抛物线相交于a，b两点，与抛物线的准线相交于点c，|bf|＝2，则△bcf与△acf的面积之比＝(
a. bc. d.
解析：抛物线图象如图所示．
由y2＝2x知f(，0)，根据题意知b点横坐标x＝，所以b(，－所以直线ab斜率k＝4＋2，即直线ab方程为y＝(4＋2)(x－)．与抛物线方程联立可得a点横坐标为2.
所以＝＝＝答案：a
4. 过圆c：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点a、b，△aob被圆分成四部分(如图)，若这四部分图形面积满足sⅰ＋sⅳ＝sⅱ＋sⅲ，则这样的直线ab有( )
a．0条b．1条。
c．2条d．3条。
解析：设∠oab＝α，直线ab方程为。
y－1＝－tanα(x－1)(0<α<
令x＝0，y＝tanα＋1；令y＝0，x＝cotα＋1，s△aob＝(tanα＋1)(cotα＋1)
(2＋tanα＋cotα)．
sⅰ＋sⅳ＝＋cotα－(
＋cotα＋
又s△aob＝2(sⅰ＋sⅳ)，tanα－cotα＝－1－，即cos2α＝－1－.
画出函数。y＝cot2x，y＝－x＋1－(0答案：b
5. 已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为f1、f2，其一条渐近线方程为y＝x，点p(，y0)在该双曲线上，则＝(
a．－12b．－2
c．0d．4
解析：由双曲线的一条渐进线的方程为y＝x可知双曲线为等轴双曲线，b＝，f1(－2,0)、f2(2,0)．
把p(，y0)代入双曲线方程得y＝1.
＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)
3－4＋y＝0.
答案：c6. 已知双曲线－＝1的准线过椭圆＋＝1的焦点，则直线y＝kx＋2与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )
a．k∈b．k∈∪
c．k∈d．k∈∪
解析： 因双曲线的准线为x＝±1，椭圆的焦点为(±1，0)，故b＝，联立方程组。
消去y得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0.
δ＝162k2－16(4k2＋3)≤0，－≤k≤.
答案：a7. 过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点f1作x轴的垂线交椭圆于点p，f2为右焦点，若∠f1pf2＝60°，则椭圆的离心率为( )
ab. cd.
解析：由题意，设|pf1|＝1，则|pf2|＝2，|f1f2|＝，2a＝|pf1|＋|pf2|＝3,2c＝|f1f2|＝，e＝＝.
答案：b8. 过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点a作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为b，c.若＝，则双曲线的离心率是( )
ab. cd.
解析：设b(xb，yb)，c(xc，yc)，过右顶点斜率为－1的直线方程为y－0＝－(x－a)，即y＝－x＋a.双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
联立与。解得b(，)c(，－
又＝，(a＝－，解得b＝2a.
e＝＝＝答案：c
9. 设双曲线－＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )
ab．5cd.
解析： 双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，由方程，消去y，得x2－x＋1＝0有唯一解，所以δ＝(2－4＝0，所以＝2，e＝＝＝故选d.
答案：d10. 设平面区域d是双曲线y2－＝1的两条渐近线和椭圆＋y2＝1的右准线所围成的三角形(含边界与内部)．若点(x，y)∈d，则目标函数z＝x＋y的最大值为( )
a．1b．2
c．3d．6
解析：由题知双曲线y2－＝1的渐近线为y＝±，椭圆＋y2＝1的右准线x＝＝2.作出可行域如图所示．
目标函数可变为y＝－x＋z，可知当直线经过a(2,1)时，z有最大值且最大值为2＋1＝3.
答案：c11. 已知抛物线c的方程为x2＝y，过点a(0,1)和点b(t,3)的直线与抛物线c没有公共点，则实数t的取值范围是( )
a．(－1)∪(1，＋∞
bc．(－2)∪(2，＋∞
d解析：由两点式得直线ab的方程为y＝x－1，代入抛物线c的方程得2x2－x＋1＝0.由δ＝－8<0，得t2>2，则t<－或t>.
答案：d12.如图，共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为( )
a．e1c．e1解析：由椭圆图形知：a2>a1，b1＝b2，e1＝＝＝e2＝，∴0由双曲线图形知：
a3＝a4，b3>b4，e3＝＝，e4＝，∴e3>e4>1.∴e1答案：c
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上)
13. 已知ac、bd为圆o：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为m(1，)，则四边形abcd的面积的最大值为___
解析：如图，设圆心o到弦bd的距离为d1，圆心o到弦ac的距离为d2.
ac⊥bd，d＋d＝|om|2＝3，bd|＝2，|ac|＝2，s四边形abcd＝|bd|×|ac|
答案：514．(2009·天津卷)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a
解析：x2＋y2＝4圆心o(0,0)，半径r＝2；圆x2＋y2＋2ay－6＝0的圆心o′(0，－a)，半径r＝.设公共弦ab与y轴交于c，则ac＝，oa＝r＝2，∴oc＝1，则|o′c|＝a＋1.
在rt△ao′c中，|ao′|2＝|ac|2＋|o′c|2，得a2＋6＝3(a＋1)2，即2a＝2，所以a＝1.
答案：115. 设直线m：xcosθ＋(y－2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：
a．m中所有直线均经过一个定点。
b．存在定点p不在m中的任一条直线上。
c．对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在m中的直线上。
d．m中的直线所能围成的正三角形面积都相等。
其中真命题的代号是___写出所有真命题的代号)．
解析：动直线xcosθ＋(y－2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)与定圆x2＋(y－2)2＝1相切．令θ＝0，x＝1；θ＝x＝－1.
直线x＝1与x＝－1没有公共点，∴a不正确．
把(0,2)代入直线方程不成立，∴动直线系m不过定点(0,2)，∴b正确．作圆x2＋(y－2)2＝1内接正n边形，过其顶点作圆的n条切线均在m内．∴c正确．
答案：b、c
如图，在平面直角坐标系xoy中，a1，a2，b1，b2为椭圆＋＝1(a>b>0)的四个顶点，f为其右焦点，直线a1b2与直线b1f相交于点t，线段ot与椭圆的交点m恰为线段ot的中点，则该椭圆的离心率为___
解析：由题意知b1f所在直线方程为y＋b＝x，a1b2所在直线方程为y－b＝x.
联立方程组。
解得t(，)
ot中点m(，)将m坐标代入＋＝1得，＋＝1，整理得c2＋10ac－3a2＝0，方程两边同除以a2得，e2＋10e－3＝0，e＝＝－5±2.
e∈(0,1)，∴e＝－5＋2.
答案：2－5
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17～21题每题12分，22题14分)
12分)如图，已知抛物线e：y2＝x与圆m：(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相交于a、b、c、d四个点．
1)求r的取值范围；
2)当四边形abcd的面积最大时，求对角线ac、bd的交点p的坐标．
解：(1)将y2＝x代入(x－4)2＋y2＝r2，并化简得x2－7x＋16－r2＝0，①
e与m有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根x1、x2.
由此得。解得又r>0，所以r的取值范围是(，4)．
2)不妨设e与m的四个交点的坐标为。
a(x1，)、b(x1，－)c(x2，－)d(x2，)，则直线ac，bd的方程分别为。
y－＝·x－x1)，y＋＝·x－x1)，解得点p的坐标为(，0)．
设t＝，由t＝及(1)知0由于四边形abcd为等腰梯形，因而其面积。
s＝·(2＋2)·|x2－x1|，则s2＝(x1＋x2＋2)·[x1＋x2)2－4x1x2]．
将x1＋x2＝7，＝t代入上式，并令f(t)＝s2，得。
f(t)＝(7＋2t)2·(7－2t)(0求导数，f′(t)＝－2(2t＋7)(6t－7)．
令f′(t)＝0，解得t＝，t＝－(舍去)．
第十一模块 A
第十一模块平面解析几何。名师检测 a 时间 120分钟分值 150分。一 选择题 本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1.已知f 1,0 直线l x 1，点b是l上的动点，过点b平行于x轴的直线与线段bf的垂直平分线交于点m，则点m的轨迹是 a 圆...
第十一模块作业
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