一、填空题。
1．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1 000吨，每吨为800元，如果购买2 000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是___
解析：设y＝ax＋b，则。
解得。y＝－10x＋9 000，由400＝－10x＋9 000，得x＝860(元)．
答案：860
2．拟定从甲地到乙地通话m分钟的**费由f(m)＝1.06×(0.50×[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数，如[4]＝4，[2.
7]＝3，[3.5]＝4，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为___元．
解析：f(5.5)＝1.06×(0.50×[5.5]＋1)＝1.06×(0.50×6＋1)＝4.24.
答案：4.24
3．在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库．一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则需要的最少运费是___元．
解析：依题意知，若所有的货物集合到一号仓库，则需要的运费是20×10×0.5＋
40×40×0.5＝900(元)；若所有的货物集合到二号仓库，则需要的运费是10×10×0.5
40×30×0.5＝650(元)；若所有的货物集合到三号仓库，则需要的运费是。
10×20×0.5＋20×10×0.5＋40×20×0.
5＝600(元)；若所有的货物集合到四号仓库，则需要的运费是10×30×0.5＋20×20×0.5＋40×10×0.
5＝550(元)；若所有的货物集。
合到五号仓库，则需要的运费是10×40×0.5＋20×30×0.5＝500(元)．综上所述，最。
少运费是500元．
答案：500
4．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是___年．
解析：由题知第一年产量为a1＝×1×2×3＝3；以后各年产量分别为an＝f(n)－f(n－
1)＝n(n＋1)(2n＋1)－n(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈n*)，令3n2≤150，得1≤n≤5
1≤n≤7，故生产期限最长为7年．
答案：75．某商场在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：
如一次购物不超过200元，不给予折扣；
如一次购物超过200元而不超过500元，按标准价给予九折优惠；
如一次购物超过500元，其中500元的部分给予九折优惠，超过500元的剩余部分给予八五折优惠．
某人两次去购物，分别付款176元和432元．如果他只去一次购买同样的商品，则他应该付款为___元．
解析：设购物应付款x元，实际付款y元，则由题意知：
y＝，那么该人两次实际购物应付款分别为x1＝176元，x2＝
432÷0.9＝480元，则x1＋x2＝656元，如果他只去一次，则应该付款y＝0.85×656＋25
582.6元．
答案：582.6
6．有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形。
如图所示)，则围成的矩形最大面积为___
围墙厚度不计)
解析：设矩形的长为x m，宽为m，则s＝x·＝(x2＋200x)．
当x＝100时，smax＝2 500 m2.
答案：2 500 m2
7．如图是一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6 h，骑摩托车者用了2 h，根据这个函数图象，给出关于这两个旅行者的如下信息：
骑自行车者比骑摩托车者早出发了3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩。
托者是匀速运动；③骑摩托车者在出发了1.5 h后，追上了骑自行车者．
其中正确信息的序号是___
解析：骑摩托车者仅用2 h就到达了目的地，即题图中的3～5 h之间，而且是匀速运。
动；两曲线的交点在时间4.5 h处，亦即摩托车出发后1.5 h两者相遇．
答案：①②8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__吨．
解析：设购买n次，则n＝，总运费为万元，所以总费用＝＋4x≥160，当。
且仅当＝4x，即x＝20时，等号成立．
答案：209．对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]＝2；[2.1]＝2；[－2.
2]＝－3，这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，那么[log31]＋[log32]＋[log33]＋…log3243]的值为___
解析：根据取整函数的定义，结合对数运算可得：[log31]～[log32]均为0；[log33]～
log38]均为1；[log39]～[log326]均为2；[log327]～[log380]均为3；[log381]～[log3242]均为4；[log3243]＝5.
所以原式＝(2－0)×0＋(8－2)×1＋(26－8)×2＋(80－26)×3＋(242－80)×4＋5＝857.
答案：857
二、解答题。
10．某民营企业生产a、b两种产品，根据市场调查与**，a产品的利润与投资成正比，其关系如图(1)，b产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图(2)(注：利润与投资的单位：万元)．
1)分别将a、b两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入a、b两种产品的生产，问：怎样分配这。
10万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元(精确到1万元)．
解析：(1)设投资为x万元，a产品的利润为f(x)万元，b产品的利润为g(x)万元，由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，由题图知f(1)＝，k1＝，又g(4)＝，k2＝，从而：f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝ x≥0)．
2)设a产品投入x万元，则b产品投入(10－x)万元．设企业利润为y万元，则有：
y＝f(x)＋g(10－x)＝＋0≤x≤10)，令＝t，则y＝＋t
－(t－)2＋(0≤t≤)，当t＝时，ymax＝≈4，此时x＝10－＝3.75.
故当a产品投入3.75万元，b产品投入6.25万元时，企业获得的最大利润约4万元．
11．(2012深圳第一次调研)如图，有一正方形钢板abcd缺。
损一角(图中的阴影部分)，边缘线oc是以直线ad为对。
称轴，以线段ad的中点o为顶点的抛物线的一部分．
工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为。
一个直角梯形．若正方形的边长为2 m，问如何画切割线ef，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．
解析：以a为坐标原点，直线ab、ad分别为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设边缘线oc的。
方程为y＝ax2＋1(0≤x≤2)，点c的坐标为(2,2)，22a＋1＝2，a＝，故边缘线oc的方程为y＝x2＋1(x≤0≤2)．
要使梯形abef的面积最大，则ef所在的直线必与边缘线oc相切，设切点坐标为。
p (0＜t＜2)，y′＝x，直线ef的方程可表示为y－t2－1＝t(x－t)，即y＝tx－t2＋1.
由此可求得e，f.
|af|＝1－t2，|be|＝－t2＋t＋1，设梯形abef的面积为s(t)，则。
s(t)＝|ab|·(af|＋|be|)＝
－t2＋t＋2＝－(t－1)2＋≤.
当t＝1时，s(t)＝，故s(t)的最大值为2.5，此时|af|＝0.75，|be|＝1.75.
答案：当af＝0.75m，be＝1.75m时，可使剩余的直角梯形面积最大，其最大值为。
2.5m2.
12．(2023年山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千米，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
2)求该容器的建造费用最小时的r.
解析：(1)设容器的容积为v，由题意知：v＝πr2l＋πr3，又v＝，故l＝＝－r＝.
由于l≥2r，因此0＜r≤2.
所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr××3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋，0＜r≤2.
2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－
(r3－)，0＜r＜2.
由于c＞3，所以c－2＞0，当r3－＝0时，r＝.
令＝m，则m＞0，所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．
当0＜m＜2即c＜时，当r＝m时，y′＝0；
当r∈(0，m)时，y′＜0；
当r∈(m,2)时，y′＞0，所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．
当m≥2即3＜c≤时，当r∈(0,2)时，y′＜0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．
综上所述， 当3＜c≤时，建造费用最小时r＝2；
当c＞时，建造费用最小时r＝
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