十一圆周运动。
1．(多选)在“天宫一号”的太空授课中，航天员王亚平做了一个有趣的实验．在t形支架上，用细绳拴着一颗明黄色的小钢球．设小球质量为m，细绳长度为l.王亚平用手指沿切线方向轻推小球，小球在拉力作用下做匀速圆周运动．测得小球运动的周期为t，由此可知( )
a．小球运动的角速度ω＝
b．小球运动的线速度v＝
c．小球运动的加速度a＝
d．细绳中的拉力为f＝
答案：bd 解析：小球运动的角速度ω＝，选项a错误；线速度v＝ωl＝，选项b正确；加速度a＝ω2l＝，选项c错误；细绳中的拉力为f＝ma＝，选项d正确．
2.(2013·新课标全国卷ⅱ)(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处( )
a．路面外侧高内侧低。
b．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动。
c．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动。
d．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小。
答案：ac 解析：汽车在公路转弯处做圆周运动，需要外力提供向心力，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，即没有指向公路两侧的摩擦力，此时的向心力由地面的支持力和重力的合力提供，故路面外侧高内侧低，选项a正确；当车速低于vc时，车所需向心力减小，车可能只是具有向内侧滑动的趋势，不一定能够滑动，选项b错误；同理，当车速高于vc，且不超出某一最高限度，车辆可能只是有向外侧滑动的趋势，不一定能够滑动，当超过最大静摩擦力时，才会向外侧滑动，故选项c正确；当路面结冰时，只是最大静摩擦力变小，vc值不变，选项d错误．
3．(2015·济南高三期末)如图所示，绳的一端悬于o点，另一端系一小球；在o点正下方a处有一钉子．现使小球由高处摆下，当绳摆到竖直位置时与钉子相碰．则绳碰钉子前与碰钉子后瞬间相比(不计空气阻力)(
a．小球的线速度变大。
b．小球的角速度变大。
c．小球的向心加速度变小。
d．绳子的拉力变大。
答案：bd 解析：绳碰钉子前后瞬间小球的线速度不变，圆周运动的半径变小，根据公式v＝ωr知，角速度变大；由a＝知加速度变大；根据f－mg＝m知绳子的拉力变大．正确选项是b、d.
4．如图是自行车传动结构的示意图，其中ⅰ是半径为r1的大齿轮，ⅱ是半径为r2的小齿轮，ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n，则自行车前进的速度为( )
a. b.
c. d.
答案：c 解析：前进速度即为ⅲ轮的线速度，由同一个轮上的角速度相等，同一皮带传动的两轮边缘的线速度相等可得ω1r1＝ω2r2，ω3＝ω2，再有ω1＝2πn，v＝ω3r3，所以v＝，选项c正确．
5．(多选)如图所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮p和q靠摩擦传动，两轮的半径r∶r＝2∶1.当主动轮q匀速转动时，在q轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在q轮边缘上，此时q轮转动的角速度为ω1，木块的向心加速度为a1；若改变转速，把小木块放在p轮边缘也恰能静止，此时q轮转动的角速度为ω2，木块的向心加速度为a2，则( )
a.＝ b.＝
c.＝ d.＝
答案：bc 解析：静摩擦力提供向心力，ffmax＝ma1＝ma2，故a1∶a2＝1∶1，c对，d错．ω·r＝ω·r得ω1∶ω2＝∶1，a错，b对．
6．如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球a和b紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则( )
a．小球a的线速度必定等于小球b的线速度。
b．小球a的角速度必定小于小球b的角速度。
c．小球a的运动加速度必定小于小球b的运动加速度。
d．小球a对筒壁的压力必定大于小球b对筒壁的压力。
答案：b 解析：分析小球受力，小球受重力、支持力，合力为小球做圆周运动的向心力，即＝ma＝m＝mrω2，所以二者加速度相同，对筒壁的压力相同，c、d错误；因小球a的半径大，所以线速度大而角速度小，选项b正确，a错误．
7．(2015·连云港模拟)(多选)如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动．圆环半径为r，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时( )
a．小球对圆环的压力大小等于mg
b．小球受到的向心力等于0
c．小球的线速度大小等于。
d．小球的向心加速度大小等于g
答案：cd 解析：小球在最高点时刚好不脱离圆环，则圆环刚好对小球没有作用力，小球只受重力，重力竖直向下提供向心力，选项a、b错误；根据牛顿第二定律得mg＝ma，解得小球的向心加速度大小为a＝g，选项d正确；由a＝得v＝，选项c正确．
8．质量为m的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图所示，已知小球以速度v通过最高点时对圆管的外壁的压力恰好为mg，则小球以速度通过圆管的最高点时( )
a．小球对圆管的内、外壁均无压力。
b．小球对圆管的外壁压力等于。
c．小球对圆管的内壁压力等于。
d．小球对圆管的内壁压力等于mg
答案：c 解析：依题意，小球以速度v通过最高点时，由牛顿第二定律得2mg＝m
小球以速度通过圆管的最高点时，设小球受向下的压力fn，有mg＋fn＝m，解得fn＝－
上式表明，小球受到竖直向上的支持力，由牛顿第三定律知小球对圆管内壁有向下的压力，大小为。选项c正确．
9．(2015·汕头质检)(多选)如图所示，m为在水平传送带上被传送的物体(可视为质点)，a为终端皮带轮，已知皮带轮半径为r，传送带与皮带轮之间不打滑，则要求使物体被水平抛出，a轮转动( )
a．角速度越小越好，最大为。
b．线速度越大越好，至少为。
c．转速越大越好，至少为。
d．周期越小越好，最大值为。
答案：bc 解析：物体的速度越大越容易做平抛运动，物体恰好做平抛运动时，皮带的支持力为零，mg＝m，解得最小速度v＝，a错误，b正确；最小转速n＝＝，c正确；最大周期t＝＝2π，d错误．
10．(2014·安徽理综)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，取g＝10 m/s2.则ω的最大值是( )
a. rad/s b. rad/s
c．1.0 rad/s d．0.5 rad/s
答案：c 解析：该题考查圆周运动中的临界问题，要明确临界条件是达到最大静摩擦力．对物体进行受力分析，当ω最大时，有μmgcos θ－mgsin θ＝mrω2，解得ω＝1.
0 rad/s，c正确．
11．如图所示，光滑的水平平台中间有一光滑小孔，手握轻绳下端，拉住在平台上做圆周运动的小球．某时刻，小球做圆周运动的半径为a、角速度为ω，然后松手一段时间，当手中的绳子向上滑过h时立刻拉紧，达到稳定后，小球又在平台上做匀速圆周运动．设小球质量为m，平台面积足够大．求：
1)松手之前，轻绳对小球的拉力大小；
2)小球最后做匀速圆周运动的角速度．
答案：(1)mω2a (2)
解析：(1)松手前小球做匀速圆周运动，绳子的拉力提供小球的向心力，所以有：t＝mω2a
2)松手后，由于拉力消失，小球将沿切线方向飞出做匀速直线运动，其速度v＝ωa
当运动了一定距离，绳子突然被拉紧，作出运动示意图如图所示，把速度v分解成切向速度v1和法向速度v2，绳拉紧后，瞬间让v2＝0，小球以v1做匀速圆周运动。
半径r＝a＋h，v1＝v＝
得ω′＝12．质量为1 kg的小球用长为l＝0.5 m的细线悬挂在o点，o点距地面高度为h＝1 m，如果使小球绕oo′轴在水平面内做圆周运动，若细线受到拉力为tm＝12.5 n就会被拉断．
1)当小球的角速度为多大时线将断裂？
2)求细线被拉断后小球落地点与悬点的水平距离．(取g＝10 m/s2)
答案：(1)5 rad/s (2)0.6 m
解析：(1)设细线与竖直方向的夹角为θ，细线被拉断瞬间对小球有。
tmsin θ＝mωlsin θ
tmcos θ＝mg
解得ω0＝5 rad/s，cos θ＝0.8(从而可知sin θ＝0.6)．
2)细线被拉断后，小球做平抛运动，初速度v0＝ω0lsin θ＝1.5 m/s
抛出时的高度h＝h－lcos θ＝0.6 m
由平抛运动规律知。
h＝gt2，x＝v0t
设所求水平距离为s，则由几何关系知s＝
以上各式联立解得s＝0.6 m.
13．如图所示，质量为m的小球置于正方体的质量为m的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为r的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计．
1)要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，盒子做圆周运动的角速度多大？
2)设小球在最高点对盒子的压力为f1，在最低点对盒子的压力为f2，试作出(f2－f1)ω2图象．
3)盒子运动到与圆心等高的位置时，这位同学对盒子的作用力多大？
答案：(1) (2)见解析图 (3)(m＋m)
解析：(1)要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则有mg＝mrω2
解得ω＝2)ω≤时，f2－mg＝mrω2，mg－f1＝mrω2
解得f2－f1＝2mrω2
当ω>时，f2－mg＝mrω2，f1＋mg＝mrω2
解得f2－f1＝2mg
因此(f2－f1)ω2图象如图所示。
3)当盒子运动到与圆心等高的位置时，这位同学对盒子作用力的水平分力f′提供向心力，竖直分力f″与重力平衡，即。
f′＝(m＋m)rω2，f″＝(m＋m)g
则该同学对盒子的作用力为。
f＝＝(m＋m)
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