2011高数工1重修班复习题 (积分， de)
注： 答案并不一定全对， 请各位小心谨慎]
期末考试上半学期内容主要涉及 1
极限和连续性 1
导数 1导数应用 1
积分部分 1
积分基础 1
基本 1函数与其不定积分的关系 1
定积分为常数 2
定积分的对称性(被积函数的奇偶性) 2
变上限积分 2
第一类换元积分法 3
第一类。三角函数积分 3
第二类换元积分法 3
有理函数积分 3
第二类。根号替换 3
分部积分 3
混合方法 3
广义积分的求法和收敛性 4
平面图形面积和旋转体的体积 4
其它 4一阶微分方程的通解和特解 5
一。 可分离变量 5
二。 齐次方程 5
三。 一阶线性微分方程 5
可降阶的高阶微分方程 6
一。 :与最高阶项无关的部分只含 6
二。 :除显含的项外， 只含最高阶项和次高阶项 6
三。 :不显含 7
其它： 利用特征方程求二阶微分方程(略) 7
期末考试上半学期内容主要涉及。
极限和连续性。
基本极限， 重要极限。
等价无穷小量。
, 在和处的极限情况。
分段函数的极限和连续性。
渐近线(判断和时和的极限情况)
导数。导数定义。
基本求导(导数表， 四则运算)
参数方程确定的函数的二阶导数。
隐函数的导数。
幂指函数的导数。
导数应用。罗尔定理的条件。
l’hospital法则。
切线方程。极值问题和最值问题(应用题)
积分部分。积分基础。
基本。c]（
abcd． 不确定。
d] 设则。
ab．1cd．
da． b． c． d．
d] 函数的原函数是。
abcd．
是连续函数，则a=0
函数与其不定积分的关系。
若 ,则 设，则。
定积分为常数
d]（ a． b． c． d．
已知，求。定积分的对称性(被积函数的奇偶性)
bab． 0 c． 1d． 2
变上限积分。
b] 设是上的连续函数，上任一点，则是（ ）
a．的原函数b．的一个原函数，且可导
c．的所有原函数d．一个常数。
a] 设则（ ）
a． b． c． d．
设，则。设求 设求。求。
第一类换元积分法。
第一类。三角函数积分。
第二类换元积分法。
令， 有； 答案为0]
令， 注意讨论该函数在某区间上的单调性， 可导性， 以及导数非0]
有理函数积分。
先化为1加真分式， 再用第一类换元积分法]
第二类。根号替换。
先分母有理化)
分部积分。设常数，且，则= e
混合方法。首先， 分子利用二倍角公式， 分母利用二倍角公式将次， 再用第一类换元积分法化为关于的有理函数积分， 再用第一类换元积分法)
先令， 再用分部积分)
若，求(先求导， 得到， 再求得， 再积分)
证明=在区间内有唯一的实根。(利用单调性和零点存在定理)
设且在上连续，求证在内仅有一根。
广义积分的求法和收敛性。
设=1，则常数。
d] 下列广义积分中收敛的是。
abcd．
b] 下列广义积分中发散的是。
a． b． c． d．
平面图形面积和旋转体的体积。
1. 设平面图形有曲线，及曲线在点的切线和轴围成，求该平面图形的面积，该图形绕周旋一周的立体体积。
2. 求曲线和所围的平面图形面积及该图形绕轴旋转的旋转体体积。
3. 求曲线与曲线和轴交点的切线及轴所围成的封闭图形的面积a,以及该图形饶轴旋转一周所成旋转体体积。
其它。一阶微分方程的通解和特解。
一。 可分离变量。
方法： 分离变量， 分别积分； 注意： 讨论新方程的额外条件， 绝对值符号， 常数。
1. [09三8] 求微分方程满足初始条件的特解。
解： 2. [10三9] 求方程的特解。
解：分离变量，得，（1分）
两端积分，得，（2分）
由，，（2分）
故所求特解为 （1分）
3. [11二13] 微分方程满足初始条件的解是。
二。 齐次方程。
方法： 令， 算出， 代入方程， 得到可分离变量的新方程。
11二13] 微分方程满足初始条件的解是。
三。 一阶线性微分方程。
方法步骤：
1. 求对应的齐次问题(令的部分为0)的解。
2. 将解中的常数设为， 作为原方程的解。
3. 得到两个等式。
1) 第一式： 对解直接求导。
2) 第二式： 将解代入原方程。
4. 由两式相等， 得到的微分方程：, 积分， 解出。
5. 将代入设出的解中即可。
1. [09四1] 已知某曲线过点(1，1)，且点处的切线在y轴上的截距等于切点的横坐标，求该曲线方程。
解： 2. [10三8] 求方程的通解。
解：， 3. [11三20] 求微分方程满足初始条件的特解。
解： 4. 求，的特解。
可降阶的高阶微分方程。
一。 :与最高阶项无关的部分只含。
1. 方法： 逐次积分； 注意： 常数。
2. 通解的统一形式：
3. [10二6] 方程的通解为。
4. [11二14]微分方程的通解为。
5. 微分方程的通解。
二。 :除显含的项外， 只含最高阶项和次高阶项。
1. 方法步骤：
a) 令次高阶项， 算出， 代入方程， 化为和的一阶方程。
b) 解出。
c) 由， 逐次积分， 得到。
2. 时， 方程为。
三。 :不显含。
1. 方法步骤： (注意： 这种方程需换自变量为)
a) 令次高阶项， 算出， 代入方程， 化为和的方程。
b) 解出。
c) 由， 分离变量， 得到。
其它： 利用特征方程求二阶微分方程(略)
微分方程的通解。
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