2009级《高等数学》期末复习提要。
第一章函数极限与连续。
一、基本概念：
函数：自变量x与因变量y的对应关系，记为y = f(x)
定义域d：自变量的取值范围。
复合函数：函数为函数与函数的复合函数，其中称为中间变量。
二、函数的基本性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性。
三、初等函数：
1、基本初等函数：六种、12个。
常数函数 幂函数
指数函数 对数函数
三角函数 反三角函数
2、初等函数：由基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合得到的函数称为初等函数。
四、极限的基本形式：
1、函数极限的描述性定义。
当函数在自变量的某一变化趋势下，函数值无限接近常数，则称函数极限存在，极限值为，记为：
2、函数极限的精确定义：
设函数在点附近有定义，若对于任意正数，均存在正数，使当时，总有不等式成立，则称当时，极限存在，极限值为，记为 ：
3、极限有七种基本形式。
五、极限计算的基本方法：
1、初等函数在其定义域内连续，即。
2、极限的基本运算法则：
若存在，则：
3、两个重要极限。
注意： 极限的抽象形式。
4、无穷大量与无穷小量。
为无穷小量。
为无穷大量。
为无穷小量为无穷大量。
为等价无穷小。
记为。注：在乘积、商、乘方、开方的极限运算中，可进行等价代换，等价代换的常见公式有：
当时）6、罗必达法则（见第四章）
六、函数的连续性。
1、在点连续。
2、重要结论：初等函数在其定义域内连续。
3、间断点：不连续点。
七、例题：例1．设，求的定义域。
解：由得。2. 函数，则（ b ）。
a） 单调 （b） 有界 （c）为周期函数 （d）关于原点对称。
解：由函数性质可知。
3．若，则。
解：，例2 当时，下列函数那个是其它三个的高阶无穷小（ ）
a） （b） （c） （d）
解：因为与是同阶无穷小，而。
所以当时， 是其它三个函数的高阶无穷小，选择(d).
例3 解：原式
例4 解：利用等价无穷小的性质计算：，
原式。例5 解： 解。
故。第二章导数与微分。
一、导数的基本概念：
1、定义：极限变化率。
2、导数定义公式：
1）导数记号：
2）等价定义公式：
其中：增量。
3、几何意义：切线的斜率。
切线方程：
4、连续与导数的关系：可导必连续， 连续不一定可导，不连续一定不可导。
注意： 分段函数可导与连续的讨论。
二、导数的基本运算：
1、导数的基本公式（14个）
3、复合函数求导：, 则
即：复合函数导数＝函数对中间变量求导×中间变量的导数。
4、隐函数求导：将视为中间变量，等式两边对求导。
5、分段函数求导。
方法（1）在分段点不连续不可导。
2）在分段点连续时，使用导数定义求导。
6、高阶导数。
7. 参数方程求导。
8.抽象函数求导。
注意求导符合的使用。
三、函数微分。
1、定义：函数满足。
（无关，的高阶无穷小）
则，称为的微分，记为。
即： 2、与导数的关系：
四、例题：
例1. 曲线在（0，2）点的切线方程是。
解：∵y’=2ex ∴切线斜率为 k=2 ∴切线方程是。
例2. 已知，求．
解： 例3.,dy
解： dy = ex(sin x + cos x) d x
例4. 设是由方程所确定的函数，求。
解： 第三章导数应用。
一、中值定理：
罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。
二、罗必达法则：
1、基本未定型：,2、其他未定型：
均可化为，型。
三、函数性态——函数图象性质：
1、单调性判别法：
2、极值：1）定义：局部最大、最小值。
2）判别法一：连续函数单调分界点：极值点。
例如：从单增到单减：极大值。
3）判别法二：驻点：
3、凹性、拐点。
1）上凹：曲线总在切线上方。
下凹：曲线总在切线下方。
拐点：凹性分界点。
2）判别法。
四、经济应用：
五、例题：
例1 解：
例2 函数y = x 2 - 2lnx的单调增加区间为单调减少区间为。
解。当时，单调减少， 当时，单调增加。
例3．设曲线有一拐点（1，-1），且在x = 0处切线平行于直线y = x，求a，b，c及曲线方程。
例4．已知某商品的需求函数为x = 125 - 5 p，成本函数为c(x) =100 + x + x 2,若生产的商品都能全部售出。求：(1)使利润最大时的产量；(2) 最大利润时商品需求对**的弹性及商品的售价。
例5．证明：当。
例6．某产品的产量为x（百台），总成本为c（x）万元，其中固定成本为5万元，边际成本为2万元/百台，假定产品能全部售出，且市场需求规律是x =1000 —100p (其中p为**)，求：（1）每年生产多少台时利润最大？（2）利润最大时的**是多少？
解：（1）第四章不定积分。
一、基本理论：
1、不定积分概念。
1）原函数。
注：积分是导数的逆运算。
2）不定积分：的所有原函数。
2．基本积分公式（13个）
二、积分方法：
1、分项积分。
2、凑微分法。
常见凑微分形式：
3．第二换元法。
了解两类应用：有理代换、三角代换。
4．分部积分法。
注：反对幂指三，谁先谁为，谁后谁凑为微分。
三、例题：
例1．若，则。
解：为f（x）的原函数，则。
例2 解：
例3 解：
例4 解：
例5 解：原式=
例6．计算不定积分。
第。五、六章定积分及其应用。
一、基本理论：
1、定积分的定义：
2、几何意义：曲边梯形面积。
3、微积分基本定理：
二、定积分计算：
1、计算性质。
3）可加性原理。
2、牛顿－莱布尼茨公式。
3、定积分换元法：换元必换限，对应变换。
4、定积分分部积分法。
5、广义积分。
1）无穷限积分。
2）瑕积分。
三、-与经济应用：
1、平面区域面积。
2、旋转体体积。
四、例题：
例1解：由微积分基本定理得：
例2 当（ ）时，广义积分的收敛。
a. b. c. d.
解： =答案为 d
例3 广义积分收敛，则 p =（
a. 1/2 b.1 c. 3/2d. 2
解： 当 p<1时，收敛。答案 a.
例4 已知，求。
解： 因为。于是 而
所以 . 例5
解： 例6.求由曲线与直线及围成的平面图形的面积及由此图形绕着轴旋转而得的旋转体的体积。
解： 例7.
高等数学 1 复习指导 一
高数一本大纲适用于工学理学 生物科学类 地理科学类 环境科学类 心理学类等四个一级学科除外 专业的考生。总要求。考生应按本大纲的要求，了解或理解 高等数学 中函数 极限和连续 一元函数微分学 一元函数积分学 向量代数与空间解析几何 多元函数微积分学 无穷级数 常微分方程的基本概念与基本理论 学会 掌...
英语1期末复习
开放英语1 期末模拟试题 1 一 英语知识运用 20 分，每题1分 阅读下面的句子和对话，从a b c三个选项中选出一个能填入空白处的最佳选项，并点击答题区相应字母符号前的小圆圈。1.name is jane.is from the usa.b.she s,she c.her,her 2.h e y...
1期末复习备课
第八单元备课。单元名称期末复习。单元重点理解乘 除法的含义，熟练掌握表内乘除法的口算以及乘加 乘减 连乘 连除及乘除混合运算。单元难点乘加 乘减 连乘 连除及乘除混合运算。易错易混乘加 乘减。知识要点能用乘法口诀计算乘法和除法。回顾反思。课时备课。复习课。主备人董红霞。备课序号 第八单元第1课时总第...