2024年普通高等学校招生统一考试上海市。
数学试题（文科）详解。
满分150分；考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．函数的最小正周期是。
考点：三角恒等变形、三角函数的周期。
解答：因为，所以。
难度：容易题。
2．若复数，其中是虚数单位，则。
考点：复数的四则运算，共轭运算。
解答：此题先根据分配律去括号可简化计算，即。
难度：容易题。
3．设常数，函数．若，则。
考点：解方程、求函数值。
解答：由。难度：容易题。
4．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为。
考点：圆锥曲线的标准方程。
解答：知抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为：
难度：容易题。
5．某校高。
一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高。
一、高二共需抽取的学生数为。
考点：分层抽样。
解答：高。一、高二共有学生2800名，按40：1的比例，需抽取学生数为70人。
难度：容易题。
6．若实数满足，则的最小值为。
考点：基本不等式。
解答：，即。
难度：容易题。
7．若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与轴所成的角的大小为结果用反三角函数值表示）．
考点：圆锥的侧面展开图。
解答：如图：
难度：容易题。
8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于。
考点：三视图。
解答：由三视图知，切割掉的两个小长方体可拼成一个。
长宽高分别为的长方体，所以其体积为24.
难度：容易题。
9．设若是的最小值，则的取值范围为。
考点：函数的单调性及最值
解答： 难度：中等题。
10．设无穷等比数列的公比为，若，则。
考点：无穷等比数列各项的和。
解答： 难度：中等题。
11．若，则满足的的取值范围是。
考点：幂函数的单调性。
解答：∴其定义域为。
又是增函数，是减函数，是增函数，又，，即为，
难度：中等题。
12．方程在区间上的所有的解的和等于。
考点：三角方程。
解答： 难度：中等题。
13．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天恰好为连续天的概率是结果用最简分数表示）．
考点：组合、概率。
解答：未来的连续天中随机选择天的所有情况有种；未来的连续天中选择的天恰好为连续天的所有情况有种；则所求概率为。
难度：中等题。
14．已知曲线，直线．若对于点，存在上的点和上的使得，则的取值范围为。
考点：圆的方程、能成立问题。
解答：∵曲线，即，∵，点即为中点；设，∵，则，点在曲线c上，∴
难度：较难题。
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．设，则“”是“且”的（ ）
a) 充分非必要条件b) 必要非充分条件。
c) 充分必要条件d) 既非充分又非必要条件。
考点：充分条件、必要条件。
解答：必要非充分条件，选b
难度：容易题。
16．已知互异的复数满足，集合，则（ ）
abcd)
考点：集合的相等、复数范围内1的立方根。
解答：⑴若则（舍）；⑵若则，那么（舍）或（舍）或或。
综合上述，.选d
难度：中等题。
17．如图，四个边长为的小正方体排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为（ ）
abcd)
考点：向量的数量积、向量的投影。
解答：结合图形，观察在上的投影即可：在上的投影相同；在上的投影相同；在上的投影相同；故的不同值的个数为3，选c
难度：中等题。
18．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
a) 无论如何，总是无解b) 无论如何，总有唯一解。
c) 存在，使之恰有两解d) 存在，使之有无穷多解。
考点：直线的方程、二元一次方程的行列式解法。
解答：把代入直线得，即。
同理可得。则是方程组的解。
若不是方程组的唯一解，则方程组有无数解则，与已知矛盾。
综上，方程组总有唯一解，选b.
难度：较难题。
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积．
考点：棱锥的体积、空间想象能力。
解答：依题意：是边长为4的正三角形，折叠后是棱长为2的正四面体（如图）.
设顶点在底面内的投影为，连接，则。
为的重心，底面。
难度：容易题。
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
设常数，函数．
1）若，求函数的反函数；
2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．
考点：反函数、函数的奇偶性。
解答：（1）因为，所以，得或，且．
因此，所求反函数为．
2）①当时，，定义域为，故函数是偶函数；
当时，，定义域为，故函数为奇函数；
当且时，定义域为关于原点不对称，故函数既不是奇函数，也不是偶函数．
难度：容易题。
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米．设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为．
1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
2）施工完成后，与铅垂方向有偏差．现在实测得，求的长（结果精确到0.01米）．
考点：解斜三角形。
解答：（1）设，则。因，所以，即，（米）
2）在中，由已知，由正弦定理得，解得（米）．
在中，由余弦定理得， 解得（米）．所以，的长约为26.93米．
难度：中等题。
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．
在平面直角坐标系中，对于直线和点，记。
若，则称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．
1）求证；点被直线分隔；
2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
3）动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设点的轨迹为曲线．求的方程，并证明轴为曲线的分隔线．
考点：定义法求曲线方程、数形结合思想。
解答：1）证明：因为，所以点被直线分隔．
2）解：直线与曲线没有公共点的充要条件是方程组无解，即．当时，对于直线，曲线上的点和满足，即点和被分隔．故实数的取值范围是．
3）证明：设的坐标为，则曲线的方程为．
对任意的，不是上述方程的解，即轴与曲线没有公共点．
又曲线上的点和对于轴满足，即点和被轴分隔．所以轴为曲线的分隔线．
难度：中等题。
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
已知数列满足，，．
1）若，求的取值范围；
2）设是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；
3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围．
考点：等差数列、等比数列与不等式综合。
解答：1）由条件得且，解得．所以的取值范围是．
2）设的公比为．由，且，得．
因为，所以．从而，，解得．
时，．所以，的最小值为，时，的公比为．
3）设数列的公差为．由，得，．
当时，，所以，即．
当时，，符合条件．
当时，，所以，，又，所以．
综上，的公差的取值范围为．
难度：较难题。
2024年上海高考数学试题 文科
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2024年上海市高考文科数学试题版
2015年普通高等学校招生全国统一考试 上海卷 文。三 解答题 本大题共有5题，满分74分 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19.本题满分12分 如图，圆锥的顶点为，底面圆为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点，已知，求三棱锥的体积，并求异面直线和所成角的大小...
2024年上海高考数学试题
17 已知与是直线 为常数 上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是。a 无论，如何，总是无解 b 无论，如何，总有唯一解。c 存在，使之恰有两解 d 存在，使之有无穷多解。18 设若是的最小值，则的取值范围为。abcd 三 解答题 本大题共有5题，满分74分 解答下列各题必须在答题纸相应编号的...