一九九三年全国高考数学试题。
理科试题。一．选择题：本题共18个小题；每小题3分，共54分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把所选项前的字母填在题后括号内。
1）若双曲线实半轴长为2，焦距为6，那么离心率是 （ c ）
（a） （b） （c） （d）2
2）函数的最小正周期是b ）
abcd）3）当圆锥的侧面积和底面积的比值是时，圆锥的轴截面顶角是。
a）450b）600c）900 （d）1200 （ c ）
4）当时，的值等于d ）
a）1 （b）-1 （c）i （d）-i
5）直线bx+ay=ab(a<0,b<0)的倾斜角是c ）
ab）cd）
6）在直角三角形中两锐角为a和b，则sinasinb （ b ）
a）有最大值和最小值0 （b）有最大值，但无最小值。
c）即无最大值也无最小值 （d）有最大值1，但无最小值。
7）在各项均为正数的等比数列中，若，则b ）
a）12 （b）10 （c）8 （d）
8）是偶函数，且不恒等于零，则。
a）是奇函数b）是偶函数a ）
c）可能是奇函数也可能是偶函数 （d）不是奇函数也不是偶函数。
9）曲线的参数方程为，则曲线是 （ a ）
a）线段 （b）双曲线的一支 （c）圆弧 （d）射线。
10）若是任意实数，且，则d ）
a） （b） （c） （d）
11）已知集合，那么为区间a ）
a） （b） （c） （d）
12）一动圆与两圆：x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为c ）
a）抛物线 （b）圆 （c）双曲线的一支 （d）椭圆。
13）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是。
a）三棱锥 （b）四棱锥 （c）五棱锥 （d）六棱锥（ d ）
14）如果圆柱轴截面的周长为定值，那么圆柱体积的最大值是a ）
a） （b） （c） （d）
15）由展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有b ）
a）50项 （b）17项 （c）16项 （d）15项。
16）设都是正数，且，那么b ）
a） （b） （c） （d）
17）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 （ b ）
a）6种 （b）9种 （c）11种 （d）23种。
18）已知异面直线所成角为500，p为空间一定点，则过点p且与所成的角都是300的直线有且仅有b ）
a）1条 （b）2条 （c）3条 （d）4条。
二．填空题：本大题共6小题；每小题3分，共18分。把答案填在题中横线上。
19）抛物线y2=4x的弦ab垂直于x轴，若ab的长为，则焦点到ab的距离为。
答]：220）在半径为30m的圆形广场**上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为1200。若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为___m（精确到0.
1m）.
答]：17.3
21）在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共___种（用数字作答）.
答]：4186
22）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池。如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为___元。
答]：1760
23）设，则。
答]：124）已知等差数列的公差d>0，首项则。
答]： 三．解答题：本大题共5小题；共48分。解答应写出文字说明、演算步骤。
25）（本小题满分8分）
解不等式。解：原不等式等价于。
所以原不等式的解集为。
26）（本小题满分8分）
如图，a1b1c1-abc是直三棱柱，过点a1、b、c1的平面和平面abc的交线记作l。
ⅰ）判定直线a1c1和l的位置关系，并加以证明；
ⅱ）若a1a=1，ab=4，bc=3，∠abc=900，求顶点a1到直线l的距离。
解：（ⅰl∥a1c1证明如下：
根据棱柱的定义知平面a1b1c1和平面abc平行。a1c1
b1adelc
b由题设知直线a1c1=平面a1b1c1∩平面a1bc1，直线l=平面a1b1c1∩平面a1bc1，根据两平面平行的性质定理。
有l∥a1c1
ⅱ）过点a1作a1e⊥l于e，则a1e的长为点a1到l的距离。连接ae，由直棱柱的定义知。
a1a⊥平面abc
直线ae是直线a1e在平面abc上的射影。
又l在平面abc上，根据三垂线定理的逆定理有ae⊥l
由棱柱的定义知a1c1∥ac，又l∥a1c1，∴l∥ac
作bd⊥ac于d，则bd是rt△abc斜边ac上的高，且bd=ae，从而。
在rt△a1ae中，∵a1a=1，∠a1ae=900，故点a1到直线l的距离为。
27）（本小题满分10分）
在面积为1的△pmn中，.建立适当的坐标系，求出以m，n为焦点且过点p的椭圆方程。yp
m o n x
解：建立直角坐标系如图：以mn所在直线为x轴，线段mn的垂直平分线为y轴。
设所求的椭圆方程为。
分别记m、n、p点的坐标为。
-c,0),(c,0)和(x0,y0)
tgα=tg(π-n）=2
由题设知。解得。
在△pmn中，mn=2c mn上的高为。
s△pmn=
故所求椭圆方程为。
28）（本小题满分12分）
设复数求。解：
29）（本小题满分10分）
已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β证明：（ⅰ如果|α|2,|β2,那么2|a|<4+b且|b|<4;
ⅱ）如果2|a|<4+b且|b|<4,那么|α|2,|β2.
证法一：依题意，设二次方程有两个实根，所以判别式不妨取。
证法二：ⅰ）根据韦达定理。
因为二次函数开口向上，
故必有。ⅱ）由。
由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间（-2，2）之内或者在区间（-2，2）之外。
若两根α，β均落在（-2，2）之外则与矛盾。
若α（或β）落在（-2，2）外，则由于，另一根β（或α）必须落在（-2，2）内，则与（1），（2）式矛盾。
综上所述α，β均落在（-2，2）内。
文科试题。一．选择题：本题共18个小题；每小题3分，共54分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把所选项前的字母填在题后括号内。
1）若双曲线实半轴长为2，焦距为6，那么离心率是 （ c ）
（a） （b） （c） （d）2
2）函数的最小正周期是b ）
abc） （d）
3）当圆锥的侧面积和底面积的比值是时，圆锥的轴截面顶角是。
a）450b）600c）900 （d）1200 （ c ）
4）当时，的值等于d ）
a）1 （b）-1 （c）id）-i
5）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是。
a）三棱锥 （b）四棱锥 （c）五棱锥 （d）六棱锥 （ d ）
6）在直角三角形中两锐角为a和b，则sinasinb （ b ）
a）有最大值和最小值0 （b）有最大值，但无最小值。
c）即无最大值也无最小值 （d）有最大值1，但无最小值。
7）在各项均为正数的等比数列中，若，则b ）
a）12 （b）10 （c）8 （d）
8）是偶函数，且不恒等于零，则a ）
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