数学冲刺复习
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1．已知平面向量，满足，，与的夹角为，若，则实数的值为（ ）
a． b． c． d．
答案】d解析】因为，所以，解得。
2．（理科）正弦曲线和直线及轴所围成的平面图形的面积是（ ）
a .1 b. 2 c. 3d. 4
答案】c解析】所求面积为3-3()=3,故选c.
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3（本小题满分12分）设连续掷两次骰子得到的点数分别为， 令平面向量，．
ⅰ)求使得事件“”发生的概率；
ⅱ)求使得事件“”发生的概率；
ⅲ)使得事件“直线与圆相交”发生的概率．
解：（1）由题意知，故所有可能的取法共36种2分。
使得，即，即，共有2种，所以。
求使得的概率4分。
2)即，共有、6种。
使得的概率8分。
3）由直线与圆的位置关系得，，即，共有，5种，所以直线与圆相交的概率 ．．12分。
4（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，平面，为的中点。[**：学*科*网z*x*x*k]
(1) 求证：∥平面；
(2) 求二面角的平面角的余弦值。
命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用。
试题解析】(方法一)⑴证明：如图一，连结与交于点，连结。
在△中，、为中点3分)
又平面，平面，∥平面5分)[**：学。科。网z。x。x。k]
解：二面角与二面角互补。
如图二，作，垂足为，又平面平面，∴平面。
作，垂足为，连结，则，∠为二面角的平面角8分)
设，在等边△中，为中点，∴，在正方形中，,，
11分)[所求二面角的余弦值为12分)
(方法二)证明：如图三以的中点为原点建系，设。
设是平面的一个法向量，则。又，.令3分)
又平面，∴∥平面5分)
解：设是平面的一个法向量，
则。又，.令8分)
11分)所求二面角的余弦值为12分)
5（本小题满分12分）如图，五面体中，．底面是正三角。
形，．四边形是矩形，二面角为。
直二面角．
ⅰ）若是中点，求证： ∥平面；
ⅱ）求该五面体的体积。
解：（ⅰ证明：连结交于，连结。
四边形是矩形 ∴为中点又为中点，从而 (4分)∵平面，平面。
平面(6分)
ⅱ）过作，垂足为，为正三角形，为中点8分)[**：z_xx_
二面角为直二面角，面，又，故矩形的面积10分)
故所求五面体体积12分)
6已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根，数列的前n项的和为，且．
（1）求数列，的通项公式；
2）若求数列的前项和．
解：（1）∵a3，a5是方程的两根，且数列的公差》0，[**。
a3=5，a5=9，公差。
3分。又当=1时，有
当。数列{}是首项，公比等比数列，6分。
2）由（ⅰ）知8分。
设数列的前项和为，1）
(210分。
化简得12分。
已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且．
1）求椭圆的方程；
2）若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由．
解：（1）设点的坐标分别为，则。
故，可得2分。
所以，……4分。
故，所以椭圆的方程为6分。
2）设的坐标分别为，则，又，可得，即8分。
又圆的圆心为半径为，故圆的方程为，
即，也就是11分。
令，可得或2，故圆必过定点和12分。
另法：（1）中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆c直径的两端点直接写出圆的方程）
已知二次函数，其导函数的图象如图，[**：学*科*网]
1）求函数处的切线斜率；
2）若函数上是单调函数，求实数的取值范围；
3）若的图像总在函数图象的上方，求的取值范围．
解：（1）由已知，，其图象为直线，且过两点，1分。
2分。3分，所以函数处的切线斜率为0 ……4分。
的单调递增区间为（0，1）和。
的单调递减区间为（1，3） …6分。
要使函数在区间上是单调函数，则，解得………8分。
（3）由题意，恒成立，得恒成立，即恒成立，设………10分。因为。当。
的最小值为的较小者．……12分。
………13分。
又已知，[14分。
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1.已知非零向量满足０，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为( )
ab． c． d．
答案】b[**：学科网zxxk]
解析】本题考查平面向量的有关知识。
2．若实数x，y满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是。
a．3 b． c．2 d．
答案】c解析】可行域为直角三角形，其面积为。
3.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
a． bc． d．
答案】b解析】切线长的长短由该点到圆心的距离来确定。即圆心到直线的最短距离。所以。
4．如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中为数字。
0—9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为。
则一定有。a． b．
c． d．的大小不确定。
答案】b 解析】.
5.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为( )
a． b． c． d．
答案】b解析】,故选b.
6.要得到y＝sin(2x－)的图象，只要将y＝sin2x的图象。
a.向左平移个单位 b.向右平移个单位。
c. 向右平移个单位 d. 向左平移个单位。
答案】c解析】因为y＝sin(2x－)=sin2(x－),故选c.
7.已知函数的定义域为，部分对应值如下表。
的导函数的图象如图所示。
下列关于函数的命题：
1 函数是周期函数；
函数在是减函数；
如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
当时，函数有4个零点。
其中真命题的个数是 (
a、4个b、3个c、2个d、1个。
答案】d解析】①显然错误；③容易造成错觉，；④错误，的不确定影响了正确性；②正确，可有得到。
8.（本小题满分15分）已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到点的最大距离为8
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知圆，直线，试证：当点在椭圆上运动时，直线与圆恒相交，并求直线被圆所截得的弦长的取值范围．
解析】（1）设椭圆c的方程为。
直线所经过的定点是（3，0），即点f（3，0）
∵椭圆上的点到点的最大距离为8[**：学，科，网z,x,x,k]
∴[**。∴椭圆c的方程为。
2）∵点在椭圆上。
原点到直线的距离。
直线与圆恒相交
9（本小题满分15分）已知函数。
i) 求函数在上的最大值。
ii)如果函数的图像与轴交于两点、，且。
是的导函数，若正常数满足。
求证：.解析】(ⅰ由得到：，[**：学|科|网z|x|x|k]
故在有唯一的极值点，且知，所以最大值为．……6分。
ⅱ)，又有两个不等的实根，则，两式相减得到： …8分。
于是。………10分。
要证：，只需证：
只需证**。
令，只需证：在*u上恒成立，又∵，则，于是由可知，故知在*u上为增函数，则，从而知，即①成立，从而原不等式成立。…15分。
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1.已知全集，集合，，那么集合( )
ab）cd）
答案】a解析】画出数轴可以求得答案为a.
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