参考解答。一、填空题。
1）【答案】
分析】由通解的形式可知该方程的特征方程的两个特征根，，从而得知特征方程为。
因此，所求微分方程为
2）【答案】c
分析1】方程两边分别对求偏导数得。
第一式乘加上第二式乘b得。
因此， 分析2】两边求全微分得。
3）【答案】
分析】用先后的积分顺序，为。
4)【答案】,其中。分析】令
则的全体原函数是。
评注】在[，]连续，它一定存在原函数，因为在无定义，所以我们用不定积分法只是分别求得与上的原函数，我们只要在处将它们连续地拼接起来就得到在[o,]上的原函数。
5）【答案】-5
分析】a是正交矩阵。由于。
而 =(1 0 -3)
因此， 评注】本题考查矩阵的运算，正交矩阵的概念等，注意区别与，前者是一个数，后者是3阶矩阵。
6）【答案】.
分析】由题设知x的密度函数，y的条件密度函数=，所以（x，y）的联合密度函数。
由此可知（x，y）服从二维正态分布。
二、选择题。
7）【答案】d
分析】a),(c)均是2阶的。
b）是3阶的。
用泰勒公式。
未确定（d）的阶。
由。d）是4阶的。
因此应选（d）
8）【答案】b
分析】当或时。
在（0，1），（3，4）单调下降，当时在（1，3）单调上升。又在（0，2）单调上升在（0，2）是凹的，在（2，4）单调下降在（2，4）是凸的。因此，应选（b）
9）【答案】b
分析】要逐一分析它们是否正确。
命题①是错的。函数图形如图所示。
则是的拐点。
且是的极小值点。
命题②是错的，在极小值点处可。
以有。如是的极小值点。
命题③是错的，若加条件：是（）连续，则该命题正确；若不连续，则命题不正确，如图所示，在（）有唯一驻点，是的极小值点，但不是在的最小值。
命题④是正确的，若是在的最大值且存在，则。
于是当不可能是在的最大值。因此，选（b）
10）【答案】d
分析】这四个级数中有两个是条件收敛的，而另外两个不是条件收敛的。
分析1】级数②的一般项取绝对值后是。
是绝对收敛。
级数③的一般项。
收敛，发散级数③发散。
因此，只能有①与④条件收敛应选（d）
分析2】级数①是条件收敛的。
单调下降趋于零。
发散发散级数①条件收敛。
级数④的一般项。
单调下降趋于零交错级数④收敛，但。
发散，级数 ④是条件收敛，因此，选（d）
评注】①发散。
熟悉结论。才可知级数①条件收敛。
11）【答案】d
分析】由是的基础解系，知的基础解系由的3个线性无关的解向量所构成。
由，即必是的解，现在（a）中只有2个解向量，向量个数不符合要求应舍去。（b）、（c）、（d）均是3个解向量，那一组是线性无关的呢？
在（b）中，若令由于三个向量可以由两个向量线性表出，所以必线性相关，应舍去。
对于（c），由行列式。
而知线性相关，舍去，故应选（d）。
评注】本题考查基础解系的概念及线性无关的判定方法。
12）【答案】b
分析】由b≠c，a（b-c）=0，知齐次方程组有非零解，而有非零解的充分必要条件是。
因为。当时，但当时，亦可为1，所以是充分而非必要条件。
评注】本题考查若ab=0，则b的列向量是齐次方程组的解，以及有非零解的充分必要条件。
13）【答案】a
分析】直接通过计算协方差来判断。
已知x和y独立，故cov(x,y)=0,cov(x,x+y)=cov(x,x)+cov(x,y)=dx>0.所以x与x+y一定相关，选择（a）。
又由于：故选项（c）、（d）有时成立，有时不成立。
14）【答案】d
分析】这是一道概念性、理论性选择题，应用已知结论即可确定正确选项。事实上，由题设知，，，相互独立，且。
由此可知。选择（d）
三、解答题。
15）【分析与求解】
ⅱ)因为常数。
（半径为1的圆的面积）
16【分析与求解】由复合函数求导法，建立对的偏导数与对的导数的关系，把方程（*）转化为的常微分方程，然后求出。
是与的复合函数。
将它们相加得。
于是方程（*）变成
令，降价得
这是可分离变量的方程，分离变量并积分得。
解出为常数。
对 再积分得。
或写成。为常数及
17）【分析与求解】（ⅰ先求幂级数的收敛半径，收敛半径。
再对幂级数逐项求导求得。
现按所要证明的等式的提示，将此级数分解成。
ⅱ）从等式右端得左端即求和函数y(x),已知，由题（ⅰ）求y(x)即求微分方程的初值问题。
这是一阶线性方程，标准化后是。
两边乘得。积分得。
即。ⅲ），则。由 由
18）【分析与证明】即证明函数。
在存在零点。
在（）存在零点。
为了对用罗尔定理，在内要找两点使得。由已知条件知，存在使得。
在上可导，由罗尔定理，即结论成立。
（19）【分析与求解1】用斯托克斯公式。
把平面被柱面所截部分记为，其边界l，按右手法则，取上侧。
由斯托克斯公式。
投影到平面上求曲面积分，于是代公式得。
分析与求解2】投影到平面上。
记l到平面上的投影为，也取逆时针方向，围成的区域为。用代入得。
分析与求解3】写出l的参数方程后套公式直接计算。
l为。于是l的参数方程为，于是直接计算。
其中 20）【解】（1）对于实对称矩阵a，若是矩阵a的重特征值，则矩阵a属于特征值的特征向量有且只有个是线性无关的，因此必线性相关，那么。
故。2）由秩r（a）=2，知，又，所以a的另一个特征值是。由题设为a的属于特征值6的线性无关的特征向量，设a属于特征值o的特征向量为，于是。
即。解得此方程组的基础解系为，那么矩阵a属于特征值的全部特征向量为。
3）设，对（）作初等行变换，有。
解出故。因为所以。
评注】本题考查实对称矩阵特征值、特性向量的性质，如果是矩阵a的重特征值，那么至多个线无关的特征向量，而作为实对称矩阵，则重特征值必有个线性无关的特征向量，从而保证本题中一定线性相关，可求出；要掌握实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交这一性质。
本题亦可由，先后求出矩阵a，然后利用a～a=
而求出。其中再来计算。
21）【证明】（1）因为线性无关，，于是有。从而。即。
2）设。因为与正交，即。
用分别左乘（*）得。
由（1），知方程组（* 的系数行列式不为o，从而据克莱姆法则，得=0，同理知，所以线性无关。
22）【分析与解答】（1）依题意都是离散型随机变量，。并且。
由于，故 ，根据边缘分布与联合分布的关系，即可求得x与z的联合分布。
2）由于。又所以，的相关系数。
评注】如果将样本空间（一共有个样点）以及与的取值情况写出，便可直接求得与的联合分布。
由此即可求得与的联合分布。
23）【分析与解答】（1）依题意的密度函数。
如果记a=“一台设备在一年内需要调换”，则。
若用y表示售出40台设备，一年内需要调换的台数，那么，2）如果用表示**一台设备厂方获利值，则。
由（1）知。
所以工厂每售出一台设备获利的期望值为。
售出40台设备获得的期望值为。
评注]如果从总体情况考虑，那么售出40台设备，厂方获利为。
经计算同样可得。
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