2023年福建省高一数学竞赛试题

(考试时间：5月15日上午8：30—11：00)

答题时注意： 1.用圆珠笔或钢笔作答。

2.解答书写时不要超过装订线。

3.草稿纸不上交。

一、填空题(共10小题，每小题9分，满分90分)

的最大值为a，最小值为b，则ab等于。

2.已知实数b,c满足b<2 3.已知集合，对它的任一非空子集a，可以将a中的每一个元素k都乘以再求和(例如，a=，则可求得和为(-1)2×2+(-1)3×3+(-1)8×8=7),对s的所有非空子集，这些和的总和为。

4.已知两个集合a=，b=，若a∩b≠，则整数a 的值为。

5.函数f(x)的定义域为(0,+∞并且对任意正实数x，都有f(x)+2f()=3x，则f(2

是正整数，且成等比数列，b-a是一个完全平方数，log6a+log6b+log6c=6，则a+b+c

7.已知f(x)=x2+6ax-a，y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点(x1，0),(x2,0)且-=8a-3，则a的值为 .

8.若不等式对-1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是。

9.已知数列的通项ak=2k，k=1，2，…，n，则所有的aiaj(1≤i≤j≤n)的和为。

10.设n为正整数，记1×2×…×n为n!(例如1！

=1，2！=1×2，5！=1×2×3×4×5)，若存在正整数a2，a3，a4，a5，a6满足=++这里0≤ai二、解答题(共4小题，每小题15分，满分60分)

11.设a,b,c这三个质数成等差数列，公差为10，求出所有这样的a,b,c.

12.设f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈r)，已知， ，求证：当x∈[-1,1]时，.

13.在直角三角形abc中，∠b=90°，它的内切圆分别与bc，ca，ab相切于点d，e，f，连接ad，与内切圆相交于另一点p，连接pc，pe，pf，fd.已知pc⊥pf.

求证：(1) =

2)pe∥bc.

14.设集合a的元素都是正整数，满足如下条件：

(1)a的元素个数不小于3；

(2)若a∈a，则a的所有正因数都属于a

(3)若a∈a，b∈a，1请解答下面的问题：

1)证明：1，2，3，4，5都是集合a的元素。

2)问：2005是否是集合a的元素？并说明理由。

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