2023年福建省高一数学竞赛试题

（考试时间：5月9日上午8:30—11:30）

答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答。

2.解答书写时不要超过装订线。

一、 选择题（每小题6分，共36分）

1. 已知集合，则集合的非空子集的个数为（）

a. 6 b. 7 c.14 d. 15

2. 直线被圆截得的最短弦长为（）

a. b. 2 c. d. 2

3.若函数在r上单调递增，则的取值范围是（ ）

a. b. c. d.

4.若函数的值域为r,则实数的取值范围是（ ）

a． b. c. d.

5.已知为长方体，e、f分别为棱、的中点，则在空间中与直线、、都相交的直线 （

a．不存在 b. 有且仅有2条 c. 有且仅有3条 d. 有无数条。

6.已知定义在r上的奇函数在区间上是增函数，且函数的图像关于直线对称。若方程在区间上有6个不同的实根，则（ ）

a. -12 b. 12 c. -8 d. 8

二、 填空题（每小题6分，共36分）

7.若经过点的直线与圆相切，则此直线在轴上的截距为。

8.若，且不等式对一切正整数都成立，则的取值范围是。

9.已知点为直线上动点，点为轴正半轴上动点，点为轴上定点，则周长的最小值为。

10.若圆上恰有三个不同的点到直线的距离为2，则的值为。

11.对于集合，定义。若集合在上述定义下，若集合非空，则实数的取值范围是。

12.在一个地面直径为，高为的圆柱中放入个直径为的小球（放入的球不能超出圆柱口），则的最大值为。

三、 解答题（第***题每题16分，第17题14分，满分78分）

13.已知。

（1）当时，求函数在区间上的最小值：

（2）若函数在区间上单调递增函数，求的取值范围。

14.已知函数，若函数在区间上有零点，求实数的取值范围。

15.已知正三角形的三个定点都在抛物线上（为坐标原点），设圆为的外接圆（为圆心）.

1）求圆的方程；

2）过直线上一点作圆的切线为切点，线段长的最小值；

当线段长去最小值，求的外接圆的方程。

16.如图，已知四边形abcd是平行四边形，

1） 求证：

2） 求证：四边形为平行四边形；

3） 若外角的平分线交于点k，求证：

17：证明：任给15个互不相同的两位数种，总可以找到4个互不相同的数。使得。

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