（考试时间：5月12日上午8:30—11:00）
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.已知集合，，则的非空真子集有（ ）
a.31b.30c.15d.16
2.给出下列四个命题：
若平面内有不在一条直线上的三个点到平面的距离相等，则平行。
三个平面可以把空间分成七个部分。
正方体中与对角线成异面直线的棱共有5条。
若一条直线和平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中假命题的个数为（ ）
a.1个b.2个c.3个d.4个。
3.设方程与的根分别为，，则（ ）
a. b. c. d.
4.函数图像的对称中心是（ ）
a. b. c. d.
5.已知从点出发的三条射线，，两两成60°，且分别与球相切于，，三点。若球的体积为，若，两点间的距离为（ ）
abc.3d.6
6.已知二次函数，点。若存在两条都过且互相垂直的直线和，它们与二次函数的图像都没有公共点，则的取值范围为（ ）
a. b. c. d.
一、填空题（每小题6分，共36分）
7.已知的顶点、在直线上，点的坐标为。若重心的坐标为，则。
8.已知是棱长为2的正方体，点是底面的中心。是棱的中点。则四面体的体积为。
9.已知函数满足：（1）对任意实数，；（2）对任意实数，；（3）当时，。若关于的方程，且在区间内恰有6个不同的实根，则的取值范围为。
10.已知关于的不等式有且仅有三个整数解，则实数的取值范围为。
11.对正整数，记为数的十进制表示的数码和（如，时，由，得）。则的最小值为。
12.对于给定正整数，由不大于的连续5个正整数的和组成集合，由不大于的连续6个正整数的和组成集合，若集合的元素个数为2013，则的最大值为。
三．解答题（第***题每题16分，第17题14分，满分78分）
13.设为曲线上任意一点，为曲线上任意一点，定义、两点间的距离的最小值为曲线与间的距离。已知曲线，曲线。
（1）求曲线与曲线间的距离的表达式。
（2）若关于的方程有解，求的取值范围。
14. 过坐标原点，作圆的两条切线，设切点为，。
（1）求直线的方程以及线段的长。
2）求内切圆的方程。
15.如图，圆为锐角的外接圆。直线与分别与边和交于点、，直线交的外接圆于、，且。
（1）求证：
（2）求证：
16.已知直线与幂函数的图像交于，两点，且。
（1）求的值；
（2）设符号表示不超过的最大整数。
记。求的值。
17.对任意的实数，定义，其中表示不超过的最大整数。
（1）求函数的值域。
（2）设，，…是任意给定的个互不相等的实数。
求证：存在某个正整数，使得。
2023年福建省高一数学竞赛
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