考试时间：5月10日上午8：30－11：00）
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.集合的子集有（ ）
a．4个 b．8个 c．16个 d．32个。
答案】 c
解答】由，知，结合，得。
的子集有个。
2．若直线与直线：关于直线对称，则与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
a．1 b． c． d．
答案】 d
解答】在直线：取点，则关于直线的对称点在直线上。
又直线与直线的交点在直线。
过和两点，其方程为。
与坐标轴交于和两点，与坐标轴围成的三角形的面积为。
3．给出下列四个判断：
1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交。
2）对平面，和直线，若，，则。
3）对平面，和直线，若，，则。
4）对直线，和平面，若，，且过平面内一点，则。
其中正确的判断有（ ）
a．1个 b．2个 c．3个 d．4个。
答案】 b
解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。
对于（1），设，过和的平面为，则当点在平面内，且不在直线上时，找不到直线同时与，都相交。
4．如图，已知正方体，为中点，则二面角的正切值为（ ）
a．1 b． c． d．
答案】 d
解答】如图，作于，作于，连结。
由为正方体，知，。
又。因此，，。
为面角的平面角。
设正方体棱长为，则，。
5．已知为等腰直角三角形，，，为中点，动点满足条件：，则线段长的最小值为（ ）
a． b．2 c． d．4
答案】 b
解答】以所在直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系。则、、。
设，由，知。
，即，化简，得。
时，有最小值2。此时，。
6．记，，，则，，，的大小关系为（ ）
a． b． c． d．
必要时，可以利用函数在上为增函数，在上为减函数）
答案】 a
解答】，。设，由在上为增函数，在上为减函数，得，于是。
，即，于是，。
又显然，，。于是，。
二、填空题（每小题6分，共36分）
7．已知为奇函数，为偶函数，且，则。
答案】 解答】依题意，有 ……由为奇函数，为偶函数，得。…
②，得，。8．已知直线：的倾斜角为，若，则的取值范围为。
答案】 解答】当时，；当时，，解得；当时，，解得。
的取值范围为。
9．如图，在三棱锥中，，，为等边三角形，则与平面所成角的正弦值为。
答案】 解答】如图，作于，则就是与平面所成的角。
设，则。又， ，
或求出外接圆半径后，再求解。
10．函数的最小值为。
答案。解答】 由，知，或。
的定义域为。
和在上都是减函数，在上都是增函数。
在上是减函数，在上是增函数。
的最小值是与中较小者。
的最小值是。
11．已知函数（，且）在区间上的最小值为，则在区间上的最大值为。
答案】 10
解答】设，则在上为增函数。
时，，在上为增函数。
时，，在上为增函数。
12．若实数，满足条件：，则的最小值为。
答案】 解答】由条件知，，，因此，，。
由对称性，不妨设，则。
设，代入，消并整理，得。……
由①的判别式，得或。
由知，，。又时，①化为，得，此时，符合。
的最小值为。因此，的最小值为。
三、解答题（第题每题16分，第17题14分，满分78分）
13．在中，已知点，，且它的内切圆的方程为，求点的坐标。
答案】易知直线于圆相切，直线、的斜率存在。
设直线的方程为，即。
由直线与圆相切，知，解得。
直线的方程为8分。
设直线的方程为，即。
由直线与圆相切，知，解得。
直线的方程为12分。
由，解得。 点的坐标为16分。
14．已知（，，且对任意实数，恒成立。
1）求证：；
2）若当时，不等式对满足条件的，恒成立，求的最小值。
答案】（1）∵ 对任意实数，恒成立， 对任意实数，，即恒成立。
，即4分。
8分。2）由以及（1）知，。
恒成立，等价于恒成立。……12分。
设，则。由，知的取值范围为。
，的最小值为16分。
15．如图，、分别是的中线和高线，、是外接圆的切线，点是与圆的交点。
1）求证：；
2）求证：平分。
答案】（1）由为圆切线，知。
、是圆的切线，为中点， 、三点共线，且。
4分。 ，为中点， ，
。于是，。
又∵ 。8分。
2）延长交圆于点，连结，，。
由，知。12分。
又为中点，。
平分16分。
2）或解：连结、、、
由，，知。又由切割线定理知， 。
、、四点共圆12分。
又于，因此，。
平分16分。
16．已知正整数，，（为的三边长，且，求的最小值。其中表示的小数部分，即（表示不超过的最大整数）。
答案】由，知（即，，，被15除的余数相同4分。
由2与15互质知8分。
经验算，可知满足的最小正整数。
，都是4的倍数12分。
设，（，为正整数，且）。
，，构成三角形三边长， ，
经验证，5，，可以为三角形的三边长。
的最小值为27。此时16分。
17．已知集合。集合是的子集，且在的任意三个元素中，总可以找到两个元素和，使得是的整数倍。求的最大值。（其中表示集合的元素的个数）。
答案】首先集合符合要求。
此时5分。设，，满足：在的任意三个元素中，总可以找到两个元素和，使得是的整数倍。
取的任意三个相邻元素：，，依题意是的整数倍，或是的整数倍，或是的整数倍。
，或，或。
于是，总有成立10分。
因此，，， 若，则与矛盾。
因此，的最大值为2114分。
2024年福建省高一数学竞赛
考试时间 5月11日上午8 30 11 00 一 选择题 每小题6分，共36分 1 已知集合，若，则实数的取值范围为 a b c d 2 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥内切球的体积为 a b c d 3 函数的值域为 a b c d 4 给出下列命题 1 设，是不同的直线，是一个平...
2024年福建省高一数学竞赛试题
考试时间 5月12日上午8 30 11 00 一 选择题 每小题6分，共36分 1.已知集合，则的非空真子集有 a.31b.30c.15d.16 2.给出下列四个命题 若平面内有不在一条直线上的三个点到平面的距离相等，则平行。三个平面可以把空间分成七个部分。正方体中与对角线成异面直线的棱共有5条。若...
2024年福建省高一数学竞赛试题
考试时间 5月9日上午8 30 11 30 答题时注意 1.用圆珠笔或钢笔作答。2.解答书写时不要超过装订线。一 选择题 每小题6分，共36分 1.已知集合，则集合的非空子集的个数为 a.6 b.7 c.14 d.15 2.直线被圆截得的最短弦长为 a.b.2 c.d.2 3.若函数在r上单调递增，...