2024年福建省高一数学竞赛试题参***及评分标准。
考试时间：5月14日上午8：30－11：00）
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．已知集合，则集合中所有元素的和为（ ）
a． b．0 c．2 d．3
答案】 b
解答】由，得。又。因此。
所以，集合中所有元素的和为0。
2．已知正三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ）
a． b． c． d．
答案】 c
解答】设，则三棱锥外接球的半径。
由，得。 ，三棱锥的体积。
3．已知为实数，若存在实数，使得，且，则的取值范围为（ ）
a． b．
cd． 答案】 c
解答】 由，得。
， 即，解得或。
的取值范围为。
4．、是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（ ）
1）对、外任意一点，存在过点且与、都相交的直线；
2）若，，，则；
3）若，，且，则；
4）若，，，则。
a．1 b．2 c．3 d．4
答案】 b解答】（1）不正确。如图，在正方体中，取为直线，为直线。过点的直线如果与直线相交，则在内，此时与直线不相交。
2）、（3）正确。
4）不正确。如图，正方体的面内取两条与平行的直线，如图中的直线与，则有，，，但与面相交而不平行。
5．已知函数，若对任意实数均有，则的最小值为（ ）
a． b． cd．
答案】 a解答】 依题意，的图像关于直线对称。
于是，，解得。
时， ，即。
此时，，，符合题意。
，即时，取最小值。
6．已知，，，若，且，则的最小值为（ ）
a． b． cd．
答案】 d
解答】 由，得。
设，则。 ， 解得，即，。
，即。 ，即。
由，知，。 ，解得。因此，。
又当时，代入前面解得，。符合题设要求。
的最小值为。
二、填空题（每小题6分，共36分）
7．已知定义在上的函数（，且）的值域也是，则的值为。
答案】 解答】当时，在上为增函数，依题意有。
方程组无解。
当时，在上为减函数，依题意有。
解得。所以，。
8．如图，在三棱锥中，，，设与所成的角为，则的值为。
答案。解答】如图，取中点，连接，。
又由，知是等边三角形。
作于，则，且。
是与所称的角。
9．已知，，，点**段内，且平分，则点的坐标为。
答案。解答】如图，方程为，设（）。
又直线方程为，方程为，平分。
点到直线、距离相等。
解得，（舍去）或。
因此，点坐标为。
10．设是定义在上以2为周期的偶函数，且在区间上单调递减。若，，则不等式组的解集为。
答案】 解答】∵ 是偶函数，且在区间上单调递减。
在区间上为增函数。
又是以2为周期的周期函数， 在区间上为增函数。
又，，以及是以2为周期的偶函数。
又， 不等式组的解集为。
11．已知，定义，，，则。
答案】 解答】 依题意，有，……
一般地，有。
所以，。12．已知，，，且，则的最大值为。
答案。解答】由，知。
当且仅当，且，即，时，等号成立。
所以，的最大值为。
三、解答题（第题每题16分，第17题14分，满分78分）
13．已知，且当时，恒成立。
1）求的解析式；
2）已知、是函数图像上不同的两点，，且。当、为整数，时，求直线的方程。
解答】（1）依题意，，。
，且。4分。
此时，，可见在区间上的最小值为。
的对称轴为，即，。
8分。2）由（1）知，。同理。
，12分。
又、为整数，且， ，或，或。
结合，得，。
、坐标分别为、。
直线的方程为16分。
14．过直线：上一点作圆：的两条切线、，、为切点。
1）在上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
2）若直线过原点，求点的坐标。
解答】（1）假设符合条件的点存在。
则由，知。 ，4分。
另一方面，由圆心到直线的距离，知。
即，矛盾。因此，假设不成立。
符合条件的点不存在8分。
2）设为直线上一点。
则。 点、在以为圆心，半径为的圆上，即点、在圆上，即圆上。
又点、在圆：上，即圆上。
将上述两圆方程联立，消二次项，得。
直线方程为12分。
由直线过原点知，。
联立，解得，。
点的坐标为16分。
15．如图，为锐角三角形，于，为的垂心，为的中点。点**段上，且。
1）求证：；
2）求证：。
解答】（1）由条件知， 、四点共圆。
4 分。 为的中点， ，
延长交于点。由为的垂心知，。
又，8分。2）由（1）知，。
又， 。12分。
又， 。又， 。
16分。16．已知为定义在上的奇函数，且当时，。。
1）若函数恰有两个不相同的零点，求实数的值；
2）记为函数的所有零点之和。当时，求的取值范围。
【解答】 （1）如图，作出函数的草图。
由图像可知，当且仅当或时，直线与函数的图像有两个不同的交点。
所以，当且仅当或时，函数恰有两个不相同的零点。
因此，或4分。
2）由的图像可知，当时，有6个不同的零点。……8分。
设这6个零点从左到右依次设为，，，
则，，是方程的解，是方程的解。
12分。 时， 。
时，的取值范围为16分。
17．设集合是一个由正整数组成的集合，且具有如下性质：
对任意，在中去掉后，剩下的数的算术平均数都是正整数；
，，且是中最大的数。
求的最大值。（符号表示集合中元素的个数）
解答】依题意，设，且。
记，，则，其中，2，3，…，
对任意，有。……5分。
对任意，。
又， 任意，。
任意，。于是，。
即，。10分。
另一方面，令，，2，3，…，31，则符合要求。
的最大值为31，即的最大值为3114分。
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2024年福建省高一数学竞赛
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