（理工类）
竞赛时间：2024年5月20日。
1. 填空题（本题15分，每小题3分）
1），则。2）设函数在上连续，并设，则。
3）在区间上连续，且对任意给定的实数，有为常值函数，则函数的表达式为。
4）曲线，记其在点处的切线与轴交点为，则。
5）设函数，则。
2. 选择题（本题15分，每小题3分）
1）函数在点的领域内有定义，且，则在点。
a. 不连续b.
c. 连续，不可导d. 条件不足，无法确定连续性和可导性。
2）设函数在区间上有连续的导数，且满足，则。
ab. 不能判断
c. 不能判断d. 以上都不正确。
3）考虑下列关于数列的描述：
1°对于数列，如果和都是收敛的，则该数列一定是收敛的；
2°数列，如果数列收敛于0，则数列是收敛的；
3°的极限为0和数列的极限为0是等价的；
4°数列收敛，数列有界，则数列是收敛的。
其中正确的结论个数为。
a. 1b. 2c. 3d. 4
4）已知函数， 则它在点处取。
a. 极小值 b. 极大值 c. 不取极值 d. 取极大值1
5）设函数，则是函数的。
a. 无穷间断点 b. 跳跃间断点 c. 可去间断点 d. 以上都不正确。
3. （本题6分）设函数，，，求函数。
4. （本题6分）证明。
5. （本题6分）设为上取正值的连续函数，为。证明：
6. （本题6分）函数在上连续，在处可导，且，，求极限。
7. （本题7分）函数在上有连续的二阶导数，且，，求证：.
8. （本题7分）设函数在上有连续的偏导数，且在边界上满足，求极限，其中为。
9. （本题8分）函数在区间上连续，在上可导，且在该区间上满足以及。 求证：.
10. （本题8分）计算曲面积分，其中为正向曲线。
11. （本题8分）设函数，∑为曲面，求。
12. （本题8分）设，，.讨论数列的收敛性。
2024年天津市大学数学竞赛试题
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