（理工类）
一、 填空：（本题15分，每小题3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）
1. 设，则 。
2. 已知的一个原函数为，则 。
4. 设a，b为非零向量，且满足（a + 3b）⊥（7a – 5b），（a – 4b）⊥（7a – 2b），则a与b的夹角为。
5. 根据美国2024年发布的《美国能源报告》**消耗量的估计公式为（单位：十亿桶/年）：
式中t的原点取为2024年1月。如果实测模型为：
则自2024年至2024年共节省** 12亿桶 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）
1. 设函数其中是有界函数，则在点处（ c ）。
a）极限不存在b）极限存在，但不连续；
c）连续但不可导d）可导。
2. 设曲线的极坐标方程为，则在其上对应于点处的切线的直角坐标方程为（ a ）。
ab）；cd）。
3. 设函数连续，则（ d ）。
ab）；cd）。
4. 设为一函数的全微分，则下面正确的答案为（ c ）。
ab）；cd）。
5. 设曲面，并取上侧为正，则不等于零的曲面积分为：（ b ）。
ab）；cd）。
三、计算。（本题7分）
解：先求。令，当时，，则。
从而。四、设，求。（本题6分）
解：，即。 （
等式（※）两边再对x求2阶导数得：
令，得。等式（※）两边对x求4阶导数得：，令，得。
五、对k的不同取值，分别讨论方程在区间内根的个数。（本题7分）
解：设， 当时，，即在上单调增加，又，故原方程在区间内无根；
当时：，，单调减少；
单调增加。所以是的极小值点，极小值。
于是，当，即时，原方程在区间内无根；
当，即时，原方程在区间内有唯一的根；
当，即时，原方程在区间内有两个根。
六、设a，b均为常数且，，问a，b为何值时，有。
（本题7分）
解：因为极限存在，故必有，即。所以有。
由题意得。即。
七、设，，证明：存在并求其值。（本题8分）
证明：因为，所以与的符号相同，且类似可得与同号。
而，于是。1 当时，有，即数列单调增加；
2 当时，也有，数列单调增加；
3 当时，有，数列单调减少；
4 当时，。
又，即与同号。
所以，当时，或时，，即数列有上界，此时数列单调增加且有上界，收敛。
当时，，数列有下界，此时数列单调减少且有下界，收敛。
当时，，常数数列显然收敛。
综上所述，存在，设其值为a，故。
有，，得a = 4（a = 3舍去，因）。
八、设是区间上的函数，且，，证明：，。本题7分）
证明：对，的泰勒公式为：
当时，分别有。
两式相减得。
故。而，故，。
附：若取，，则，。显然，）。
九、设是由所确定的二元函数，求：，。本题6分）
解：将等式两边分别对x，y求偏导数：
十、求，其中曲线l是位于上半平面，从点到的部分。（本题7分）
解：，，即积分与路径无关。
但因在点处与无定义，故应选积分路径：从到再到最后到的折线段。于是。
十。一、计算，其中σ为由曲面与所围成的封闭曲面的外侧。（本题7分）
解：对右端的第一个积分使用高斯公式。
其中ω是σ所围的空间区域，ω1是ω位于第1卦限的部分。
对于右端的第二个积分。
其中σ1是平面上的部分上侧，显然。σ2是的外侧，所以。
十。二、在曲面上求一点p，使该曲面在p点处的切平面与曲面之间并被圆柱面所围空间区域的体积最小。（本题8分）
解：因为，其中和分别是以曲面和p点处的切平面为顶，以为底，以圆柱面为侧面的区域的体积，且是常数，所以求的最小值可转化为求的最大值。
设点p的坐标为，则曲面在该点处的法向量为，切平面方程为。
又，故切平面方程为。
于是。其中。
利用极坐标计算。即。由。
解得唯一驻点为，。对应的。
又当为区域d边界上的点时，有。
即，所以恒为常数。可知只在区域d的内部取到最大值。而点（1,0）是d内的唯一驻点，故在此唯一驻点处的值是最大值。
此时切点p的坐标为所求。切平面方程为，最小体积为。
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