2024年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、填空：（每小题3分）
1． 设则 .
2． 设函数由方程所确定，则 .
3． 由曲线与轴所围成的图形的面积 .
4． 设为闭区间上使被积函数有定义的点的集合，则 .
5． 设是顺时针方向的椭圆其周长为，则 .
二、选择题：（每小题3分）
1.若且则（ ）
a）存在b）；
c）不存在d）均不正确。
2．设则当时，（
a）与为同阶但非等价无穷小；（b）与为等价无穷小；
c）是比更**的无穷小；（d）是比更低价的无穷小。
3．设函数对于任意都满足且其中均为非零常数，则在处（ ）（a）不可导； （b） 可导，且；
c） 可导，且； （d）可导，且。
4．设为连续函数，且不恒为零，其中则i的值（ ）a） 与和有关； （b）与、及有关；
c）与无关，与有关； （d）与有关，与无关。
5．设在有界闭区域上具有二阶连续偏导数，且满足及则（ ）（a）的最大值点和最小值点都在区域的内部；
（b）的最大值点和最小值点都在区域的边界上；
（c）的最大值点在区域的内部，最小值点在区域的边界上；
（d）的最小值点在区域的内部，最大值点在区域的边界上。
三、（6分）求极限。
四、（6分）计算
五、（6分）设函数的所有二阶偏导数都连续，且求。
六、（7分）在具有已知周长的三角形中，怎样的三角形的面积最大？
七、（8分）计算。
八、（7分）计算曲面积分。
其中为上半球面的上侧。
九、（8分）已知定义，求证：存在，并求其值。
十、（7分）证明不等式 .
十一、（7分）设函数在区间上连续，在开区间内可导，且，求证：开区间内至少存在一点，使得。
十二、（8分）设函数在区间上有二阶导数，且。证明。
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