理工类）
一、填空：（本题15分，每小题3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）
1. 已知则其中的常数。
2. 设函数在区间上有连续的二阶导数，，a>0且在x=a处取得极大值，则积分。
4. 设抛物线上一点p的横坐标为c（c>2），点q（c，0）.如图，直线和与弧围城的图形为，三角形opq记为，和绕x轴旋转一周所成旋转体的体积分别为和。当时， =
5. 设连续且，空间区。
则。二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）
1. 设则。
ab) cd) 在点x=0处不可导b】
2.设，都是区间上恒大于零的可导函数，且则当时，必有。
ab) cd) 【a】
3.设则。abc)0 (d)2d】
4.以下积分的是。
(a) (b)
c) (d) 【c】
5.如图，半径不相等的两个木质球体，分别在中间钻出一个以球体直径为轴的圆柱形洞，使得剩下的两个环状立体a和b的高都等于h.通过计算，正确的结论是。
(a) a的体积等于b的体积b)a的体积小于b的体积。
c)a的体积大于b的体积d)不能判断，a与b体积的大小与球半径有关【a】
三、设，。求极限。
解法1： =
解法2： =
四、求不定积分。
解：令，（）则。
五、设是由方程确定的隐函数。
（1）证明是单调增加的；（2）求。
（1）证方程两端对x求导，得即。
因为所以是单调增加的。
2）解：由于是单调增加的，故当有上界时，（a为某常数）；当无上界时。
假若，由于且广义积分收敛，令，由上式可得矛盾。
因此，只有，从而得。
六、设曲线的参数方程为。
(1)在曲线上哪些点处的切线与平面平行，并写出对应的切向量。
(2)求(1)中两条切线之间的距离。(注意两个切线之间的距离指它们的公垂线段的长度。)
解：（1）由曲线的参数方程，得到已知平面的法向量由题设即解得。
在曲线上得到两个点在此两点处的切线与平面平行，对应的切向量分别为。
2）解法1 由（1）可得。
(-12,0,-4)=-4(3,0,1), 于是，（1）中两个切线之间的距离。
解法2：通过点作平行于已知平面的平面，其方程为显然，通过点的切线在平面上，通过点的切线平行于平面，故两切线之间的距离就是点到平面的距离，即。
七、设是区间上具有二阶导数的非负函数，且若证明。
证明：令则且。
= 再求导。
由题设在区间上应用微分中值定理，存在使得又因为题设于是。 所以在区间单调增加，因此当时，有。由此又得到在区间单调增加，故，即。
八、求正数a的取值范围，使得曲线。
解：曲线的充分必要条件是：存在使得，即也即a属于函数的值域。 由于所以只需要求出的最大值a，那么的值域就是。
令可得的唯一驻点就是x=e.
当当时，因此，为在内的最大值。
因此，曲线与直线相交的充分必要条件是，a必须要满足。
九、设曲面是由直线段绕z轴旋转而得。
1）试推导的直角坐标方程；（2）如果是与平面所围成的立体，其密度为求的质量。
解：（1）设m是旋转而得，上的点对应于参数t，故。
而故的方程是即。
2）空间区域其中因此，的质量。
十、设有曲线：（n为正整数），为的长。证明。
（提示：对于应用极限的夹逼准则。）
解：如图，设曲线与x轴的交点为a，与直线的交点为，则点的坐标为曲线在点a到点间的曲线段的弧长记为。由对称性，只需证明。
在开区间内，求由方程所确定的隐函数的导数，得由弧长计算公式===
另一方面，又有。
=（）于是由极限的夹逼准则，因此。
十。一、计算曲线积分其中函数f（x）有连续导数，ab是有点到点的有向线段。
解：令经计算故曲线积分与路径无关。因此，选择如下积分路径：先从点沿着平行于x轴的直线到点再从点沿着平行于y轴的直线到点。==令则因此：
十。二、设流速场求流体沿空间闭曲线的环流量=其中是由两个球面与的交线，从z轴的正向看去，为逆时针方向。
解：由与得。
取为平面（上侧）被闭曲线所围成的圆的内部，因原点到平面的距离为故闭曲线是半径为的圆。的单位法向量为应用stokes公式=
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