1、选择题（每个5分，共6题）
1.将选手的9个得分去掉1个最高分，去年1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为。
abc. 36 d.
2.半径为r的球的内部装有4个有相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值是。
ab. c. d.
3.已知数列和对任意，都有，当时，数列和的极限分别是a和b，则。
a. b. c. d. a和b的大小关系不确定。
4.对所有满足的m,n,极坐标方程表示的不同双曲线条数为。
a. 6 b. 9 c. 12 d. 15
5.使关于x的不等式有解的实数k的最大值是。
a. b. c. d.
6.设，则对任意的整数n，形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中，不是m中的元素的数为。
a. 4n b. 4n+1 c. 4n+2 d. 4n+3
2、填空题（每个8分，共6题）
7.已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，则该三角形的周长为：
8.对任一实数序列，定义△a为序列，它的第n项是，假定序列△（△a）的所有项都是1，且，则的值为。
9.满足使为纯虚数的最小正整数n=
10.将1，2，3，..9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为：
11.记集合，将m中的元素按从大到小顺序排列，则第2024年数是。
12.设直线系，对于下列四个命题：
m中所有直线均经过一个定点。
存在定点p不在m中的任一条直线上。
对于任意整数存在正n边形，其所有边均在m中的直线上。
m中的直线所能围成的三角形面积都相等。
其中真命题的代号是写出所有真命题的代号）
3、解答题（共4题，满分72分）
13.（本小题满分16分）
如图所示，ab为rt△abc的斜边，i为其内心，若△iab的外接圆的半径为r，rt△abc的内切圆半径为r，求证：.
14.（本小题满分16分）
如图，a，b为椭圆（a>b>0)和双曲线的公共顶点，p、q分别为双曲线和椭圆上不同于a、b的动点，且满足。
求证：（ⅰ三点o、p、q在同一直线上；
ⅱ）若直线ap、bp、aq、bq的斜率分别是k1、k2、k3、k4，则k1+k2+k3+k4是定值。
15.（本小题满分20分）
已知整数列，满足，，对于正整数n，定义函数，证明：若存在某个有两个整数零点，则必有无穷多个有两个整数零点。
16.（本小题满分20分）
已知，函数。
ⅰ）经过原点分别作曲线和的切线和。已知两切线的斜率互为倒数，求证：
ⅱ）设，当时，恒成立，试求实数a的聚会范围。
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2024年湖南省高中数学竞赛
年第 期 中圈分类号 文献标识码 文章编号。一。填空题 每小题 分，共 分 已知平面内三点 满足。已知函数。口戈 口 则。在区间 内为减函数，在区间 将边长为 的正方形 沿 折成 的二面角 则 的中点与 的距离 一一 内为增函数 则 为。设 是两个集合，称 为一个。有黑 自 黄筷子各 支，不用眼睛看...
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