1．（2024年四川高考文科20题）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，
ⅰ）求证：面；
ⅱ）求二面角的大小。
2．（2024年四川高考文科19题）如图，平面平面，，，直线与直线所成的角为60°，又，，．
ⅰ）求证：；
ⅱ）求二面角的大小；
ⅲ）求多面体的体积．
3．（2024年四川高考文科19题）如图，平面平面，四边形与都是直角梯形， ，分别为的中点。
ⅰ）证明：四边形是平行四边形；
ⅱ）四点是否共面？为什么？
ⅲ）设，证明：平面平面；
4．（2024年四川高考文科19题）如图，正方形abcd所在平面与平面四边形abef所在平面互相垂直，△abe是等腰直角三角形，ab=ae,fa=fe,∠aef=45°.
ⅰ）求证：ef⊥平面bce；
ⅱ）设线段cd、ae的中点分别为p、m，求证：pm∥平面bce；
ⅲ）求二面角f-bd-a的大小。
5．（2024年四川高考文科18题）在正方体abcd－a′b′c′d′中，点m是棱aa′的中点，点o是对角线bd′的中点。
ⅰ）求证：om为异面直线aa′和bd′的公垂线；
ⅱ）求二面角m－bc′－b′的大小；w_w w. k#s5_ o*m
6．（2024年四川高考文科19题）如图，在直三棱柱abc－a1b1c1中，∠bac=90°，ab=ac=aa1=1，延长a1c1至点p，使c1p＝a1c1，连接ap交棱cc1于d．
ⅰ）求证：pb1∥平面bda1；
ⅱ）求二面角a－a1d－b的平面角的余弦值；
四川高考文科数学试题立几答案。
1．（2024年四川高考文科20题）
解：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则。
分别是的中点。
ⅰ） 取，显然面。
∴,又面∴面。
过作，交于，取的中点，则。
设，则又。由，及在直线上，可得：
解得，∴ 即。
与所夹的角等于二面角的大小。
故：二面角的大小为。
2．（2024年四川高考文科19题）
ⅰ）∵平面平面，，平面．
平面又∵平面，∴
ⅱ）取的中点，则．连接、．
平面平面，平面平面，．
平面．∵，从而平面．
作于，连结，则由三垂线定理知．
从而为二面角的平面角．
直线与直线所成的角为60°，∴
在中，由勾股定理得．
在中，．在中，．
在中， 故二面角的大小为。
ⅱ）如图以为原点建立空间直角坐标系．
设，有，，．由直线与直线所成的角为60°，得。
即，解得．，
设平面的一个法向量为，则。
由，取，得。
取平面的一个法向量为，则。
由图知二面角为锐二面角，故二面角的大小为．
ⅲ）多面体就是四棱锥。
3．（2024年四川高考文科19题）
由平面平面，，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系。
ⅰ）设，则由题设得。
所以于是。又点不在直线上所以四边形是平行四边形。
ⅱ）四点共面。理由如下：
由题设知，所以。
又，故四点共面。
ⅲ）由得，所以。
又，因此。即，又，所以平面。
故由平面，得平面平面。
4．（2024年四川高考文科19题）
ⅰ）因为△abe为等腰直角三角形，ab=ae，所以ae⊥ab,又因为平面abef⊥平面abcd，ae平面abef,平面abef平面abcd= ab
所以ae⊥平面abcd,所以ae⊥ad因此，ad，ab，ae两两垂直，建立如图所示的直角坐标系。设ab=1，则ae=1，b（0，1，0），d（1，0，0），e（0，0，1），c（1，1，0）
因为fa=fe，∠aef=,所以∠aef=.
从而，f（0，，）
所以ef⊥be，ef⊥bc.
因为be平面bce，bc平面bce，bcbe=b，所以ef⊥平面bce. …4分。
ⅱ）m（0，0，）.p（1, ,0）.从而=（，
于是。所以pm⊥fe，又ef⊥平面bce，直线pm不在平面bce内，故pm∥平面bce8分。
ⅲ）设平面bdf的一个法向量为，并设=（x，y，z）=(1， 1，0)，
即去y=1，则x=1，z=3，从=（0，0，3）
取平面abd的一个法向量为=（0，0，1）
故二面角f-bd-a的大小为12分。
5．（2024年四川高考文科18题）
以点d为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系d－xyz
则a(1,0,0),b(1,1,0),c(0,1,0),a’(1,0,1),c’(0,1,1),d’(0,0,1)
1)因为点m是棱aa’的中点，点o是bd’的中点。
所以m(1,0,),o(,,
所以om⊥aa’,om⊥bd’
又因为om与异面直线aa’和bd’都相交。
故om为异面直线aa'和bd'的公垂线6分。
2)设平面bmc'的一个法向量为＝(x,y,z) w_w w. k#s5_ o*m
即，取z＝2,则x＝2,y＝1，从而＝(2,1,2)
取平面bc'b'的一个法向量为＝(0,1,0), cos
由图可知，二面角m－bc'－b'的平面角为锐角w_w w. k#s5_ o*m
故二面角m－bc'－b'的大小为arccos………12分。
6．（2024年四川高考文科19题）
如图，以a1为原点，a1b1，a1c1，a1a所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系a1－b1c1a，则，，，
ⅰ）在△paa1中有，即．，．
设平面ba1d的一个法向量为，则令，则．，pb1∥平面ba1d，ⅱ）由（ⅰ）知，平面ba1d的一个法向量．
又为平面aa1d的一个法向量．∴．
故二面角a－a1d－b的平面角的余弦值为．
2024年四川高考数学试题 文科
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